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Hierarchie mathematischer Strukturen



Dieser Artikel gibt einen Überblick über die Hierarchie mathematischer Strukturen.

Unter einer mathematischen Struktur wird hier eine Menge verstanden, die mit bestimmten Eigenschaften ausgestattet ist. Algebraische Strukturen sind mit einer oder mehreren Verknüpfungen ausgestattet. Topologische Räume erhalten ihre Struktur durch die Auszeichnung bestimmter Teilmengen als offen. Viele wichtige Mengen, zum Beispiel die Zahlkörper besitzen sowohl algebraische als auch topologische Struktur.

Table of contents
1 Algebraische Strukturen
2 Ordnungsstruktur
3 Topologische Struktur
4 Geometrische Struktur
5 Zahlenbereiche

Algebraische Strukturen

Für eine diagrammatische Darstellung der besonders wichtigen algebraischen Strukturen Halbgruppe, Gruppe, Ring, Schiefkörper, Körper und Vektorraum siehe Algebraische Strukturen (bildliche Übersicht).

Strukturen mit einer inneren Verknüpfung: Gruppen u.ä.

Die fundamentalen algebraischen Strukturen besitzen ein oder zwei zweistellige innere Verknüpfungen. Die Taxonomie dieser Strukturen richtet sich danach, welche der folgenden Gruppenaxiome in der Menge M bezüglich der Verknüpfung ◊ gelten:

(E) Existenz und Eindeutigkeit: Für alle a, b aus M gilt: ab ist definiert und ist Element von M.
(A) Assoziativgesetz: Für a, b, c aus M gilt: (ab)◊c = a◊(bc).
(N) Existenz eines neutralen Elements: M enthält ein e, mit dem für alle a aus M gilt: ae = ea = a.
(I) Existenz des inversen Elements: Zu jedem a aus M gibt es ein a-1 aus M, mit dem gilt: aa-1 = a-1a = e.
(K) Kommutativgesetz: Für a, b aus M gilt: ab = ba.

Die folgenden Strukturen mit einer zweistelligen inneren Verknüpfung verallgemeinern oder spezialisieren den fundamentalen Begriff der Gruppe:

Strukturen mit zwei inneren Verknüpfungen: Ringe, Körper u.ä.

Die folgenden Strukturen haben zwei innere Verknüpfungen, die gewöhnlich als Addition und Multiplikation geschrieben werden; diese Strukturen sind von den Zahlbereichen (wie Z, Q, R) abstrahiert, mit denen man gewöhnlich rechnet. Die Verträglichkeit der additiven und der multiplikativen Verknüpfung wird durch folgende Axiome sichergestellt:

(I*) Existenz des inversen Elements bezüglich der multiplikativen Verknüpfung, mit Ausnahme des neutralen Elements der additiven Verknüpfung. Formal: Zu jedem a aus M\\{0} gibt es ein a-1 aus M, mit dem gilt: a·a-1 = a-1·a = e.
(Dl) Links-Distributivgesetz: Für a, b, c aus M gilt: a·(b+c)=a·b + a·c.
(Dr) Rechts-Distributivgesetz: Für a, b, c aus M gilt: (a+bc=a·c + b·c.
(D) Distributivgesetz: es gilt Dl und Dr.
(T) Nullteilerfreiheit: Wenn 0 das neutrale Element der additiven Verknüpfung bezeichnet, dann folgt für alle a, b aus M aus a·b=0, dass a=0 oder b=0.
(U) Die neutralen Elemente bezüglich der Addition und der Multiplikation, 0 und 1, sind nicht gleich.

Die jeweils gültigen Axiome sind im folgenden in der Reihenfolge (additive Axiome | multiplikative Axiome | Verträglichkeitsaxiome) gekennzeichnet.

Wichtige Teilmengen, die aber nicht abgeschlossen bezüglich der Gruppenverknüpfungen sind:

Strukturen mit zwei inneren Verknüpfungen: Verbände, Mengenalgebren u.ä.

Ein Verband ist eine algebraische Struktur, dessen zwei innere Verknüpfungen im allgemeinen Fall nicht als Addition und Multiplikation aufgefasst werden können:

(Abs) Absorptionsgesetze: a ∨ ( ab ) = a und a ∧ ( ab ) = a.

Mit diesem Axiom erhalten wir als Strukturen: In einem distributiven Verband muss man nur eines der beiden Absorptionsgesetze fordern; das andere folgt dann aus dem Distributivgesetz.

Eine Boolsche Algebra ist ein Verband, in dem die beiden Verknüpfungen je ein neutrales Element haben, a∨0=0 und a∧1=1, und in dem jedes Element ein bezüglich beider Verknüpfungen übereinstimmendes Komplement hat,

(Kompl) Existenz eines Komplements: zu jedem a gibt es ein ¬ a, für das gilt a∨¬a=1 und a∧¬a=0.
Beachte, das das Komplement nicht inverses Element ist, da es das neutrale Element der jeweils anderen Verknüpfung liefert.

Strukturen mit innerer und äußerer Verknüpfung: Vektorräume u.ä.

Diese Strukturen bestehen aus einem additiv geschriebenen Magma (zumeist einer abelschen Gruppe) V und einem Zahlbereich (einer Struktur mit zwei inneren Verknüpfungen, zumeist einem Körper) K, dessen Gruppenaktion auf V als Linksmultiplikation *:K×VV oder als Rechtsmultiplikation *:V×KV geschrieben und (von V aus gesehen) als äußere Verknüpfung aufgefasst wird. Die Elemente von K heißen Skalare, die äußere Verknüpfung dementsprechend auch Skalarmultiplikation. Sie genügt den folgenden Verträglichkeitsaxiomen (in Notation für Linksmultiplikation):

(AL) Assoziativgesetz: für a, b aus K und v aus V: ( a . b ) * v = a * ( b * v ).
(DL) Distributivgesetze: für a, b aus K und v, w aus V: a * ( v + w ) = a * v + a * w und ( a + b ) * v = a * v + b * v.

Damit erhalten wir folgende Strukturen in der Notation (V | K | Verträglichkeitsaxiome):

Zusätzliche algebraische Struktur auf Vektorräumen

Die im folgenden eingeführten inneren Verknüpfungen Skalarprodukt und Norm verhelfen einem Vektorraum (das kann insbesondere auch ein als Vektorraum aufzufassender Körper sein) zu einer topologischen Struktur.

Ordnungsstruktur

Siehe dazu den Übersichtsartikel Ordnungsrelation.

Topologische Struktur

Die verschiedenen topologischen Räume sind aus dem Bemühen hervorgegangen, von dieser globalen Struktur abzusehen und lediglich die möglichen lokalen Struktur eines Raums zu klassifizieren.

Siehe dazu einstweilen die Artikel Topologie (Mathematik), topologischer Raum, Topologie-Glossar, Trennungsaxiom.

Geometrische Struktur

Klassifikation nach den gültigen Axiomen (vergleiche die Artikel Geometrie, Euklidische Geometrie, Euklids Elemente):

Klassifikation nach den Transformationsgruppen, unter denen bestimmte geometrische Eigenschaften invariant bleiben (Felix Klein, Erlangener Programm):

Zahlenbereiche

Dies sind die Mengen, mit denen man gewöhnlich rechnet. Grundlage ist die Menge der natürlichen Zahlen. Als algebraische Verknüpfung dienen Addition und Multiplikation. Indem man fordert, dass auch die Umkehroperationen Subtraktion und Division stets möglich sein sollen, erweitert man die Menge der natürlichen Zahlen zur Menge der ganzen Zahlen und zur Menge aller Brüche. Die reellen Zahlen werden als Grenzwerte von Zahlenfolgen eingeführt; sie ermöglichen das Wurzelziehen aus beliebigen positiven Zahlen. Die Wurzeln aus negativen Zahlen führen auf die komplexen Zahlen.

Wichtig sind ferner einige eingeschränkte Zahlbereiche:




     
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