Euklidischer Raum
Ein euklidischer Raum ist in der Mathematik ein Raum, für welchen die Gesetze der euklidischen Geometrie gelten. Euklidische Räume existieren in beliebigen Dimensionenen n. Ein zweidimensionaler euklidischer Raum heißt auch euklidische Ebene.Algebraisch lässt sich ein euklidischer Raum in beliebigen Dimensionen n (n > 0) durch das n-fache kartesische Produkt der reellen Zahlenmenge R beschreiben. Er wird dann als
oder auchbezeichnet. Durch koordinatenweise Addition und Multiplikation mit Skalarenen wird er zu einem reellen Vektorraum, auf dem für zwei beliebige Punkte x = (x1, ..., xn) und y=(y1, ...,yn) ein Skalarprodukt definiert werden kann, indem die Koordinaten paarweise multipliziert und die entstehenden Produkte aufaddiert werden. In drei Dimensionenen ergibt sich so zum Beispiel:
Euklidische Räume in der höheren Mathematik
Durch seine Metrik d ist jeder euklidische Raum R n ein metrischer Raum und somit auch ein topologischer Raum. Als Vektorraum ist er zudem das klassische Beispiel für einen topologischen Vektorraum. Insbesondere ist er ein Banachraum, ein Innenproduktraum und damit auch ein Hilbertraum. Nach einem Beweis von Brouwer sind euklidische Räume verschiedener Dimension nicht homöomorph aufeinander abbildbar.
Ein euklidischer Raum ist zugleich der Prototyp einer topologischen und differenzierbaren Mannigfaltigkeit. Für alle Dimensionen außer vier ist eine zu R n homöomorphe Mannigfaltigkeit auch eine zu R n diffeomorphe. Die in vier Dimensionen bestehenden Ausnahmen werden exotische 4-Räume genannt.
Siehe auch: Raum (Mathematik), Hierarchie mathematischer Strukturen, Mahalanobis-Distanz