Normierter Raum
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berührt die Spezialgebiete |
hat die Eigenschaften von |
umfasst als Spezialfälle |
Der mathematische Begriff der Norm ist die Verallgemeinerung des geometrischen Begriffs der Länge eines Vektors. Eine Norm ist eine Funktion, die jedem Element eines Vektorraums eine reelle, nichtnegative Zahl zuordnet und eine Reihe weiterer Eigenschaften erfüllt.
Ein normierter Vektorraum oder kurz normierter Raum ist ein Vektorraum, auf dem eine Norm definiert ist.
Table of contents |
2 Einordnung 3 Betragsnormen 4 Vektornormen 5 Operatornormen |
Sei V ein Vektorraum über dem Körper K der reellen oder komplexen Zahlen. Funktion ||·||: V → R heißt Norm auf V, wenn für alle Vektoren x,y aus V und alle Skalare α aus K die folgenden axiomatische Bedingungen erfüllt sind:
Bemerkungen:
Jede Norm induziert eine Metrik
Formale Definition
Ein Vektorraum mit einer Norm heißt normierter Vektorraum oder normierter Raum.Einordnung
Damit ist jeder normierte Raum auch ein metrischer Raum, und damit auch ein topologischer Raum und ein Hausdorff-Raum.
Eine Norm kann, muss aber nicht durch ein inneres Produkt (Skalarprodukt) <·,·> definiert sein. Jeder Innenproduktraum ist mit
- ||x|| := √<x,x>
Ein normierter Raum heißt vollständig, wenn in ihm jede Cauchyfolge konvergiert. Ein vollständiger normierter Raum heißt Banachraum, und ein vollständiger normierter Innenproduktraum heißt Hilbertraum.
Normen auf Körpern (siehe z.B. p-adische Zahlen) sind die absoluten Beträge.
Für endlichdimensionale Räume sind die so genannten p-Normen definiert als:
Zur Veranschaulichung betrachten wir zweidimensionale Vektoren r=(x,y). Die Menge aller r mit ||r||=1 bildet einen verallgemeinerten Einheitskreis. Mit den Normen zu p=1, p=2 und p=∞ ergeben sich in einem kartesischen Koordinatensystem die Graphen:
Betragsnormen
Vektornormen
p-Normen
Dabei ist p eine reelle Zahl größergleich 1, n ist die Dimension des Vektorraums und |xi| der Absolutbetrag der i-ten Vektor-Komponente. Die aus diesen Normen abgeleiteten Metriken heißen auch Minkowski-Metriken.
p = 1 | p = 2 | p = ∞ |
Die 1-Norm
- ||(x,y)||1 = |x| + |y|
Nur in der 2-Norm
- ||(x,y)||2 = √(x² + y²)
Die Norm zu p=∞
- ||(x,y)||∞ = max
x|,|y
>heißt auch Maximumsnorm. lp-Normen
Die "lp-Normen" sind eine Verallgemeinerung der p-Normen auf spezielle unendlichdimensionale Vektorräume.
Betrachte die Menge RN aller reellen Zahlenfolgen. Für eine reelle Zahl p ≥ 1 bzw. das Symbol p = ∞ betrachten wir die Teilmenge
Lp-Normen
Die Definition der Lp-Räume und -Normen wird hier nur kurz angerissen, ausführlichere Informationen dazu im Artikel Lp-Raum.
Analog zu den Folgenräumen kann man den Vektorraum der Funktionen von R nach R betrachten, und darin die "in p-ter Potenz integrierbaren Funktionen" herausgreifen, für die man so genannte Lp-Normen definiert. Das ist jedoch erstmal nur eine Pseudonorm, da ||f|| = 0 nicht ausschließlich für die Nullfunktion gilt. Man geht deshalb über zu einem Faktorraum (den man Lp nennt), auf dem die Lp-Norm dann eine Norm ist.
Operatornormen
Für einen Operator f wird seine Operatornorm (anschaulich der größtmögliche Streckungsfaktor) bezüglich einer Vektornorm folgendermaßen definiert:
Matrixnormen
Für reelle oder komplexe Matrizen kann man die Operatornormen der entsprechenden linearen Abbildungen Ax für einige Vektornormen (hier die 1, 2 und Maximumsnorm) explizit angeben.
Spaltensummennorm Spektralnorm ,
wobei der betragsgrößte Eigenwert istZeilensummennorm Matrixnormen haben einige nützliche Eigenschaften, so ist beispielsweise der Spektralradius einer Matrix (der betragsgrößte Eigenwert) immer kleiner als ihre Norm, unabhängig davon, welche Norm gewählt wurde. Sie werden insbesondere in der numerischen Mathematik benutzt. Zusätzlich zu den oben genannten Normaxiomen erfüllen Matrixnormen immer die multiplikative Dreiecksungleichung: