Innenproduktraum
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Ein inneres Produkt ist eine Funktion, die zwei Elementen eines Vektorraums eine Zahl aus dem zugrundeliegenden Skalarkörper zuordnet. Das innere Produkt ist eine Verallgemeinerung des in reellen Vektorräumen definierten Skalarprodukts.
Ein Vektorraum, auf dem ein inneres Produkt definiert ist, heißt Innenproduktraum oder Prähilbertraum. Innenprodukträume verallgemeinern den Euklidischen Raum; sie ermöglichen damit die Anwendung geometrischer Methoden auf abstrakte Strukturen.
Um den Begriff des Skalarprodukts auf abstrakte Räume zu übertragen, abstrahiert man einige minimale Eigenschaften, die ein Produkt zweier Vektoren besitzen muss, um im Fall des Euklidischen Raums mit dem geometrisch motivierten Skalarprodukt zusammenzufallen.
Sei V ein Vektorraum über dem Körper K der reellen oder komplexen Zahlen. Ein inneres Produkt ist eine positiv definite Hermitesche Form, das ist: eine Abbildung <·,·>: V×V→K die für alle x, y, z aus V und für alle a, aus K die folgenden axiomatischen Bedingungen erfüllt:
Das innere Produkt wird mit einem Punkt als Multiplikationszeichen geschrieben: x·y. In der französischen Literatur ist ein tiefgestellter Punkt gebräuchlich: x.y. In der Funktionalanalysis oder wann immer sonst die Rolle des inneren Produkts als eine Funktion betont werden soll, bevorzugt man die Notation <x,y>. Davon abgeleitet ist die Bra-Ket-Notation, die in der Quantenmechanik gerne verwendet wird: <x|y>.
Wie bei der normalen Multiplikation kann das Multiplikationszeichen auch ganz weggelassen werden, wenn keine Missverständnisse auftreten können; das ist insbesondere in Texten der Fall, in denen Vektoren durch Vektorpfeile, durch Fettdruck oder durch Unterstreichen kenntlich gemacht sind und daher nicht mit Skalaren verwechselt werden können:
Ein Beispiel für einen Innenproduktraum, der kein Euklidischer Raum ist, ist der Raum aller stetigen Funktionen von einem reellen Intervall [a,b] nach R mit dem inneren Produkt
Formale Definition
Bemerkungen:
Notation
Beispiel
wobei p(x) eine positive Gewichtsfunktion (oder "Belegung") ist (statt p(x)>0 genügt es, p(x)≥0 mit schwachen Zusatzbedingungen zu fordern). Eine orthogonale Basis dieses Raums heißt orthogonales Funktionensystem; Beispiele für solche Funktionensysteme sind die trigonometrischen Funktionen, die in Fourier-Reihen verwendet werden, die Legendre-Polynome, die Tschebyscheff-Polynome, die Laguerre-Polynome, die Hermite-Polynome usw.
Das innere Produkt induziert eine Norm
Norm und Winkel
Damit ist jeder Innenproduktraum ein normierter Raum.
- Bemerkung: der Beweis, dass das so definierte ||·|| tatsächlich eine Norm ist, also insbesondere die Dreiecksungleichung erfüllt, erfordert als nichttrivialen Zwischenschritt die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung.
Unter Verwendung der Norm kann man das Skalarprodukt beliebiger Vektoren
- <x,y> = |x| |y| cos φ
- Dabei verwendet man wiederum die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung, die sicherstellt, dass -|x| |y| ≤ <x,y> ≤ |x| |y|, was die Voraussetzung dafür ist, dass wir den Quotienten '<x,y>/|x||y| als einen Cosinus interpretieren.
Mit der durch das innere Produkt induzierten Norm ist jeder Innenproduktraum ein normierter Raum, damit auch ein metrischer Raum, damit auch ein topologischer Raum; er besitzt also sowohl eine geometrische als auch eine topologische Struktur.
Ein vollständiger Innenproduktraum heißt Hilbertraum.
Bilinearräume erlauben auch die Betrachtung anderer Grundkörper außer den reellen oder komplexen Zahlen. Die Theorie der Bilinearräume ist eng verbunden mit der Theorie der quadratischen Formen (homogene Polynome vom Grad 2).
Vom Standpunkt der Tensoralgebra aus kann das innere Produkt
Eine Verallgemeinerung von Innenprodukträumen sind Bilinearräume, bei denen das innere Produkt ersetzt ist durch eine Hermitesche Form oder Bilinearform, die nicht notwendig positiv definit ist. Ein wichtiges Beispiel ist der Minkowski-Raum der speziellen Relativitätstheorie, dessen Metrik in der gängigsten Konvention Eigenwerte mit den Vorzeichen (-,+,+,+) hat.
Einordnung in die Hierarchie mathematischer Strukturen
Verallgemeinerungen: metrischer Tensor, Bilinearräume, Relativitätstheorie
mit der Notation g(x,x):=<x,x> als ein Tensor zweiter Stufe
aufgefasst werden, wobei ein Tensorprodukt und V* den Dualraum von V bezeichnet; g heißt metrischer Tensor oder kurz Metrik. Die Anforderung, dass das innere Produkt positiv definit sein muss, bedeutet, dass in jedem beliebigen Koordinatensystem die zu g gehörige Matrix gik positiv definit ist, also nur positive Eigenwerte besitzt.