Euklidische Geometrie
Die Euklidische Geometrie ist die uns vertraute Geometrie der Ebene oder des Raums oder deren Verallgemeinerung auf Räume beliebiger Dimension.Die Euklidische Geometrie in d Dimensionen kann auf zwei Arten eingeführt werden:
- über ein System von Axiomen, die Zusammenhänge zwischen Punkten, Geraden, Ebenen und so weiter (bis zu Hyperebenen der Dimension d-1) beschreiben, oder
- algebraisch als der Raum Rd.
Zur algebraischen Formulierung der Euklidischen Geometrie siehe die Artikel Euklidischer Raum und Analytische Geometrie. In diesem Artikel konzentrieren wir uns auf den axiomatischen Zugang zur Geometrie.
Über zweitausend Jahre lang wurde Geometrie nach axiomatischen Aufbau des Euklid gelehrt. Näheres dazu im Artikel über sein Buch Die Elemente.
Grundelemente der euklidischen Geometrie der Ebene sind Punkte und Geraden, welche Punkte verbinden. Geraden wiederum schneiden sich in Punkten. Aus diesen Grundelementen entsteht eine Geometrie, in der u.a. Dreiecke, Vierecke, n-Ecke, Winkel und Kreisee enthalten sind.
Die fünf Euklidischen Axiome der Geometrie sind:
Die Axiome (Postulate) des Euklid
Seit der Antike wurde versucht, das 'unbeholfen' erscheinende Parallelenaxiom aus den übrigen Axiomen herzuleiten. Erst im 19. Jahrhundert entdeckten Carl Friedrich Gauß, János Bolyai und Nikolai Iwanowitsch Lobatschewski unabhängig voneinander die nichteuklidische und die absolute Geometrie.
Erstere ersetzt das Parallelenaxiom durch andere Axiome, letztere arbeitet ganz ohne das Konzept von Parallelen.
Analog entwickelte Leonard Euler die Affine Geometrie durch Herauslassen des 3. und 4. Axioms, welche in der Speziellen Relativitätstheorie (Minkowskiraum) wichtig ist.
Eine minimale Geometrie entsteht, wenn man nur das 1. und 2. Axiom verwendet. Die dabei entstehende Geordnete Geometrie ist von Interesse, da ihre Sätze in allen oben genannten Geometrien wahr sind.
Gegen Ende des 19ten Jahrhunderts wurde das Axiomensystem des Euklid zum Vorbild für den axiomatischen Aufbau der gesamten Mathematik. Dabei wurde erkannt, dass das Euklidische System lückenhaft ist: um die vertraute "Euklidische" Geometrie zu erhalten, muss man zusätzliche Axiome einführen (z.B. das Axiom von Pasch).
Unter den modernen Axiomensystemen ist das von David Hilbert am bekanntesten geworden (Grundlagen der Geometrie, Teubner 1900 [?], zahlreiche Neuauflagen). Die Axiomgruppen nach Hilbert sind:
Moderne Axiomensysteme