Topologischer Raum<meta http-equiv="Content-type" content="text/html; charset=utf-8"> <link rel="shortcut icon" href="../../favicon.ico"><link rel="stylesheet" href="../../wikistatic.css"></head> <body><div id=topbar><table width='98%' border=0><tr><td><a href="../../h/ha/hauptseite.html" title="Hauptseite">Hauptseite</a> | <b><a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Topologischer_Raum" title="Topologischer Raum">Aktueller Wikipedia-Artikel</a></b></td> <td align=right nowrap><form name=search class=inline method=get action="../../../search/search.html"><input name=search size=19><input type=submit value=Search></form></td></tr></table></div> <div id=article><h1>Topologischer Raum</h1><p> <table align="right" border="1" width="20%" ><tr bgcolor=#abcdef > <td > <strong>topologischer Raum</strong> </td></tr><tr > <td > </td></tr><tr bgcolor=#fedcba > <td > berührt die Spezialgebiete </td></tr><tr bgcolor=#abcdef > <td > <ul><li><A HREF="../../m/ma/mathematik.html" title="Mathematik">Mathematik</A> <ul><li><A HREF="../../t/to/topologie__mathematik_.html" title="Topologie (Mathematik)">Topologie</A> </li></ul></li></ul></td></tr><tr > <td > </td></tr><tr bgcolor=#fedcba > <td > ist Spezialfall von </td></tr><tr bgcolor=#abcdef > <td > <ul><li><A HREF="../../m/me/mengensystem.html" title="Mengensystem">Mengensystem</A> </li></ul></td></tr><tr > <td > </td></tr><tr bgcolor=#fedcba > <td > umfasst als Spezialfälle </td></tr><tr bgcolor=#abcdef > <td > <ul><li><A HREF="../../p/pa/parakompakter_raum.html" title="Parakompakter Raum">parakompakter Raum</A> <ul><li><A HREF="../../k/ko/kompakter_raum.html" title="Kompakter Raum">kompakter Raum</A> </li></ul></li><li>Kolmogoroff-Raum </li><li>präregulärer-Raum <ul><li><A HREF="../../h/ha/hausdorff_raum.html" title="Hausdorff-Raum">Hausdorff-Raum</A> <ul><li><A HREF="../../p/pa/parakompakter_hausdorff_raum.html" title="Parakompakter Hausdorff-Raum">parakompakter Hausdorff-Raum</A> </li></ul></li></ul></li></ul></td></tr></table><p> Ein <strong>Topologischer Raum</strong> ist der grundlegende Gegenstand der Teildisziplin <A HREF="../../t/to/topologie__mathematik_.html" title="Topologie (Mathematik)">Topologie</A> der <A HREF="../../m/ma/mathematik.html" title="Mathematik">Mathematik</A>. Er besteht aus einer beliebigen <A HREF="../../m/me/mengenlehre.html" title="Mengenlehre">Grundmenge</A>, der durch Spezifizierung einer so genannten <strong>Topologie</strong> eine abstrakte mathematische Raumstruktur aufgeprägt wird.<p> <p><table border="0" id="toc"><tr><td align="center"> <b>Table of contents</b> <script type='text/javascript'>showTocToggle("show","hide")</script></td></tr><tr id='tocinside'><td align="left"> <div style="margin-left:2em;"> </div> </div> <A CLASS="internal" HREF="#Definition">1 Definition</A><BR> <A CLASS="internal" HREF="#Beispiele">2 Beispiele</A><BR> <A CLASS="internal" HREF="#Sprechweise">3 Sprechweise</A><BR> <A CLASS="internal" HREF="#Literatur">4 Literatur</A><BR> <A CLASS="internal" HREF="#Links">5 Links</A><BR> </td></tr></table><P> <A NAME="Definition"><H2>Definition</H2><p> Eine <strong>Topologie</strong> ist eine Familie von als <A HREF="../../o/of/offene_menge.html" title="Offene Menge">offen</A> bezeichneten Teilmengen der Grundmenge <em>X</em> (und ist damit eine Teilmenge der <A HREF="../../p/po/potenzmenge.html" title="Potenzmenge">Potenzmenge</A> von <em>X</em>), die folgenden Axiomen genügt:<p> <ul><li> Die leere Menge und die Grundmenge <em>X</em> sind offene Mengen. </li><li> Der Durchschnitt endlich vieler offener Mengen ist eine offene Menge. </li><li> Die Vereinigung beliebig vieler offener Mengen ist eine offene Menge.<p> </li></ul>Eine Menge <em>X</em> zusammen mit einer Topologie auf <em>X</em> heißt <strong>topologischer Raum</strong>. Eine Teilmenge von <em>X</em>, deren Komplement offene Menge ist, heißt <strong>abgeschlossen</strong>.<p> Eine Topologie ist <strong>feiner</strong> als eine Topologie , wenn jede offene Menge von auch offen in ist. heißt dann <strong>gröber</strong> als .<p> Weitere Begriffe im Zusammenhang mit topologischen Räumen sind im <A HREF="../../t/to/topologie_glossar.html" title="Topologie-Glossar">Topologie-Glossar</A> zusammengefasst.<p> <A NAME="Beispiele"><H2>Beispiele</H2><p> <ol><li>Auf jeder Grundmenge existieren als triviale Beispiele von Topologien: <ol><li> Die indiskrete (oder chaotische) Topologie, die nur die leere Menge und die Grundmenge enthaelt. </li><li> Die diskrete Topologie, die alle Teilmengen enthält. </li></ol></li><li>Das System der offenen Teilmengen eines <A HREF="../../m/me/metrischer_raum.html" title="Metrischer Raum">metrischen Raums</A> ist eine Topologie. </li><li>Als etwas ungewöhnlicheres Beispiel existiert auf einer unendlichen Menge (z.B. der Menge der natürlichen Zahlen) die kofinite Topologie: Offen sei die leere Menge sowie jede Teilmenge von , deren <A HREF="../../k/ko/komplement.html" title="Komplement">Komplement</A> nur endlich viele Elemente enthält.<p> </li></ol><A NAME="Sprechweise"><H2>Sprechweise</H2><p> Im Hinblick auf <A HREF="../../g/ge/geometrie.html" title="Geometrie">geometrische</A> Anwendungen werden die Elemente der Grundmenge oft als Punkte bezeichnet.<p> <A HREF="../../u/um/umgebung__mathematik_.html" title="Umgebung (Mathematik)">Umgebungen</A> eines Punktes werden dann definiert als Obermengen von offenen Mengen, die den Punkt enthalten.<p> Umgekehrt charakterisieren die Umgebungen die offenen Mengen: <ul><li> Eine Menge ist offen genau dann, wenn sie mit jedem ihrer Punkte auch eine Umgebung dieses Punktes enthält. (Dieser Satz erklärt die Verwendung des Wortes <em>offen</em> für den oben definierten mathematischen Begriff.)<p> </li></ul><A NAME="Literatur"><H2>Literatur</H2><p> H. Schubert: Topologie, Teubner, Stuttgart 1964, ISBN 3519122006<p> <A NAME="Links"><H2>Links</H2><p> <em>Weitere mathematische Räume siehe unter <A HREF="../../r/ra/raum__mathematik_.html" title="Raum (Mathematik)">Raum (Mathematik)</A></em><p> <p> <p> <p> <p> <p></div><br><div id=footer><table border=0><tr><td> <small>Dies ist ein Artikel aus der freien Enzyklopädie <a href="http://de.wikipedia.org">Wikipedia</a>. Stand: August 2004. Der Artikel steht unter der <a href="http://www.gnu.org/licenses/fdl.txt">GNU Free Documentation License</a>.</small></td></tr></table></div>