Hilbert-Raum
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Ein Hilbert-Raum (oder Hilbertraum, benannt nach dem Mathematiker David Hilbert) ist ein vollständiger Innenproduktraum.
Ein Innenproduktraum ist ein Vektorraum über den reellen Zahlen R oder den komplexen Zahlen C mit einem Skalarprodukt. Das Skalarprodukt induziert eine Norm und eine Metrik. Der Innenproduktraum heißt vollständig bezüglich der so induzierten Metrik, wenn jede Cauchy-Folge konvergiert.
Der Hilbert-Raum ist eine Verallgemeinerung des Euklidischen Raums bzw. des Unitären Raums. Wichtig ist der Begriff vor allem bei unendlichdimensionalen Funktionenräumen. Die meisten dieser Räume sind nicht vollständig, weswegen Hilbert-Räume besonders sind. Der hohe Grad an mathematischer Struktur in ihnen vereinfacht die Analysis allerdings ungemein und so spielen sie in der Funktionalanalysis, speziell in der Lösungstheorie partieller Differentialgleichungen und damit auch der Physik eine große Rolle. Als Beispiel sei hier die Quantenphysik genannt, wo die Zustände eines quantentheoretischen Systems einen Hilbert-Raum bilden.
Table of contents |
2 Beispiele für Hilbert-Räume 3 Noch nicht Ausformuliertes ... 4 Trivia 5 Links |
Jeder Hilbertraum ist automatisch ein Banach-Raum und hat so alle dessen Eigenschaften. Insbesondere hat jeder Hilbertraum einen Dualraum. Hier gilt allerdings der Rieszsche Darstellungssatz: Jeder Hilbertraum ist isometrisch isomorph zu seinem Dualraum. Dieser Satz hat weitreichende Konsequenzen.
Die Eigenschaft der Isomorphie eines Raums zu seinem Dualraum nennt man Reflexivität. Nach dem oben genannten Satz sind also alle Hilberträume reflexiv.
Wichtige Konzepte für den Umgang mit Hilbert-Räumen sind u.a. Orthogonalität,
Hilbertraumbasis, Fourierkoeffizient, Besselsche Ungleichung, Parsevalsche Gleichung, Parallelogrammgleichung
An der Georg-August-Universität in Göttingen, wo David Hilbert lange Jahre lehrte und forschte, gibt es einen Hilbertraum. Die amüsante Zweideutigkeit des Namens wird ausländischen Gästen meist nicht klar: im Englischen heißt ein mathematischer Raum space und nicht etwa room.
Weitere mathematische Räume siehe unter Raum (Mathematik)
Dualraum
Beispiele für Hilbert-Räume
Noch nicht Ausformuliertes ...
Trivia
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