Rationale Zahl
Eine rationale Zahl ist eine Zahl, die als Verhältnis (lateinisch Ratio) zweier ganzer Zahlen ausgedrückt werden kann (für gewöhnlich schreibt man a / b, lies a geteilt durch b), wobei der Nenner (hier b) ungleich Null ist. Jede Zahl, die sich als Bruch zweier ganzer Zahlen darstellen lässt, ist also eine rationale Zahl.
Table of contents |
2 Zur Erklärung der rationalen Zahlen 3 Darstellungsformen 4 Konstruktion von Q aus Z 5 Eigenschaften 6 Verwandte Themen 7 Weblinks |
Eine Zahl heißt dann rational, wenn man sie als Verhältnis zweier benennbarer ganzer Zahlen ausdrücken kann, also Zahlen, die zum Zählen benutzt
werden können. So genannte rationale Zahlen umfassen somit die ganzen Zahlen und gewöhnliche Brüche. Diese werden dann unterschieden in
Jede rationale Zahl lässt sich im Dezimalsystem darstellen, wobei bestimmte Zahlen eine periodische Dezimalbruch-Entwicklung haben. Im Gegensatz dazu haben irrationale Zahlen (wie √2, √3, π oder manche Grenzwerte) eine unendliche, nichtperiodische Ziffernfolge.
Die Menge aller rationalen Zahlen bildet einen Körper, der mit Q (stark betont dargestellt) bezeichnet wird. Weil dies handschriftlich nicht darstellbar ist, hat sich das Symbol eingebürgert.
siehe auch: reelle Zahlen, natürliche Zahlen, irrationale ZahlenDefinition
Hinweis: nicht endliche, nicht periodische Dezimalbrüche sind nicht-rational.Zur Erklärung der rationalen Zahlen
1/3 | = 0,333333... | = [0,01 01 01 ...]2 |
9/7 | = 1,2857 142857 142857... | = [1,01 001 001 001 ...]2 |
1/2 | = 0,50000... | = [0,10000...]2 |
1 = 1/1 | = 1,0000... = 0,9999... | = [0,1111...]2 |
Die Bruchform einer rationalen Zahl kann man oft in so genannte Partialbrüche zerlegen, deren Nenner ganze Potenzen von Primzahlen sind; z. B.
- 5/6 = 1/2 + 1/3, 1/6 = 1/2 - 1/3, 1/72 = 1/8 - 1/9, 1/60 = -1/4 - 4/3 + 8/5.
- 3/7 = 1/3 + 1/11 + 1/231, 25/31 = 1/2 + 1/4 + 1/18 + 1/1116,
Das Zahlentripel (1/5, 24/35, 5/7) ist ein Beispiel eines pythagoräischen Bruchs (siehe auch pythagoräisches Tripel), denn
- (1/5)² + (24/35)² = (5/7)².
Konstruktion von Q aus Z
Mathematisch gesehen, definiert man Brüche als geordnete Paare ganzer Zahlen (a, b), wobei wieder b ungleich Null ist. Dann definiert man Addition und Multiplikation mit diesen Paaren mit Hilfe folgender Regeln:
- (a, b) + (c, d) = (a·d+b·c, b·d)
- (a, b) · (c, d) = (a·c, b·d)
- (a, b) ~ (c, d) genau dann wenn, a·d = b·c.
- (a, b) ~ (c, d) genau dann wenn, a·d = b·c.
Man kann zeigen, dass Q der kleinste Körper ist, der die natürlichen Zahlen N enthält. Q ist der Quotientenkörper der ganzen Zahlen Z.
Rationale Zahlen liegen "dicht" auf der Zahlengerade, das heißt: Zwischen zwei rationalen Zahlen a und b
liegt stets eine weitere rationale Zahl c (und somit beliebig viele).
Man nehme einfach das arithmetische Mittel dieser beiden Zahlen:
Eigenschaften
Was zunächst überraschend klingt, ist die Tatsache, dass die Menge der
rationalen Zahlen "gleichmächtig" zu der Menge der natürlichen Zahlen ist.
Das heißt: es gibt eine bijektive Abbildung zwischen
N und Q, die jeder
rationalen Zahl q eine natürliche Zahl n zuweist und umgekehrt.
Siehe dazu auch: Cantor-Diagonalisierung
Verwandte Themen
Weblinks