Pythagoreisches Tripel
Ein pythagoreisches Tripel (auch: pythagoräisches Tripel) ist eine Gruppe von drei ganzen Zahlen, für die die Gleichung des Pythagoras gilt:
Mit pythagoreischen Tripeln befasst sich die Zahlentheorie. Schon der griechische Mathematiker Diophant hat sie untersucht.
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Ein primitives pythagoreisches Tripel ist ein pythagoreisches Tripel, bei dem die drei Zahlen teilerfremd sind. Primitive pythagoreische Tripel enthalten immer zwei ungerade Zahlen und eine gerade.
Mit den drei binomischen Formeln lässt sich leicht zeigen, dass man beliebig viele primitive pythagoreische Tripel erzeugen kann, wenn man irgendein Paar von teilerfremden Zahlen m und n wählt und daraus a = m² - n², b = 2·m·n und c = m² + n² bestimmt:
Beispiele:
Sind m und n beide ungerade, kann sich kein primitives pythagoreisches Tripel ergeben, da dann a, b und c gerade sind.
Die pythagoreischen Tripel sind eine Besonderheit der Quadratzahlen: Der Große Fermatsche Satz besagt, dass es keinen anderen ganzzahligen Exponentenen n gibt, für den mit den ganzen Zahlen a, b und c gilt:
Primitive pythagoreische Tripel
m="2"; n="1"
=>
a=3
b=4
c=5
m="3"; n="1"
=>
a=8
b=6
c=10
Vielfaches von oben
m="3"; n="2"
=>
a=5
b=12
c=13
m="4"; n="1"
=>
a=15
b=8
c=17
m="4"; n="3"
=>
a=7
b=24
c=25
m="5"; n="2"
=>
a=21
b=20
c=29
m="6"; n="1"
=>
a=35
b=12
c=37
Fermat'sche Tripel
Solche Zahlen nennt man auch Fermat'sche Tripel. Nach dem Theorem existieren also für ganzzahlige n>2 keine solchen Tripel.Weblinks