Kreiszahl<meta http-equiv="Content-type" content="text/html; charset=utf-8"> <link rel="shortcut icon" href="../../favicon.ico"><link rel="stylesheet" href="../../wikistatic.css"></head> <body><div id=topbar><table width='98%' border=0><tr><td><a href="../../h/ha/hauptseite.html" title="Hauptseite">Hauptseite</a> | <b><a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Kreiszahl" title="Kreiszahl">Aktueller Wikipedia-Artikel</a></b></td> <td align=right nowrap><form name=search class=inline method=get action="../../../search/search.html"><input name=search size=19><input type=submit value=Search></form></td></tr></table></div> <div id=article><h1>Kreiszahl</h1>Die <strong>Kreiszahl</strong> π (pi) beschreibt das Verhältnis des Umfangs eines <A HREF="../../k/kr/kreis__geometrie_.html" title="Kreis (Geometrie)">Kreiseses</A> zu seinem <A HREF="../../d/du/durchmesser.html" title="Durchmesser">Durchmesser</A>. Sie hat ungefähr den Wert<p> <dl><dd><p> </dd></dl>π wird mit dem kleinen <A HREF="../../g/gr/griechenland.html" title="Griechenland">griechischen</A> Buchstaben <A HREF="../../p/pi/pi.html" title="Pi">pi</A> bezeichnet, nach dem Anfangsbuchstaben des griechischen Wortes <em>perifereia</em> (Randbereich). Sie wird auch <em><A HREF="../../a/ar/archimedes.html" title="Archimedes">Archimedes</A>' Konstante</em> oder <em>Ludolf'sche Zahl</em> (nach <A HREF="../../l/lu/ludolph_van_ceulen.html" title="Ludolph van Ceulen">Ludolph van Ceulen</A>) genannt.<p> <table border="0" align="right" ><tr> <td > </td></tr><tr ---- > <td ><div style="float:right; text-align:center; padding-left:15px; padding-bottom:15px"> <br> <small>M Mittelpunkt, r Radius, d Durchmesser</small></div> <tr ---- > </tr></table><p> <p><table border="0" id="toc"><tr><td align="center"> <b>Table of contents</b> <script type='text/javascript'>showTocToggle("show","hide")</script></td></tr><tr id='tocinside'><td align="left"> <div style="margin-left:2em;"> </div> </div> <A CLASS="internal" HREF="#Mathematische Grunddaten">1 Mathematische Grunddaten</A><BR> <div style="margin-left:2em;"> <A CLASS="internal" HREF="#Definition">1.1 Definition</A><BR> <A CLASS="internal" HREF="#Irrationalität & Transzendenz">1.2 Irrationalität & Transzendenz</A><BR> <A CLASS="internal" HREF="#Die ersten 200 Nachkommastellen">1.3 Die ersten 200 Nachkommastellen</A><BR> <A CLASS="internal" HREF="#Kettenbruchentwicklung">1.4 Kettenbruchentwicklung</A><BR> </div> <A CLASS="internal" HREF="#Geschichte der Zahl π – von Schätzungen zur Rekordjagd">2 Geschichte der Zahl π – von Schätzungen zur Rekordjagd</A><BR> <div style="margin-left:2em;"> <A CLASS="internal" HREF="#Die alltägliche Praxis drängt zu ersten Schätzungen">2.5 Die alltägliche Praxis drängt zu ersten Schätzungen</A><BR> <A CLASS="internal" HREF="#Archimedes von Syrakus">2.6 Archimedes von Syrakus</A><BR> <div style="margin-left:2em;"> <A CLASS="internal" HREF="#Die Möndchen des Hippokrates aus Chios">2.6.1 Die Möndchen des Hippokrates aus Chios</A><BR> <A CLASS="internal" HREF="#Umbeschreibung und Einbeschreibung bis zu 96 Ecken">2.6.2 Umbeschreibung und Einbeschreibung bis zu 96 Ecken</A><BR> </div> <A CLASS="internal" HREF="#Genauer und genauer - von Zu Chongzhi über Ludolph van Ceulen zu John Machin">2.7 Genauer und genauer - von Zu Chongzhi über Ludolph van Ceulen zu John Machin</A><BR> </div> <A CLASS="internal" HREF="#Moderne Näherungsrechnung und Bestimmung">3 Moderne Näherungsrechnung und Bestimmung</A><BR> <div style="margin-left:2em;"> <A CLASS="internal" HREF="#David H. Bailey">3.8 David H. Bailey</A><BR> <A CLASS="internal" HREF="#Berechnung mittels Flächenformel">3.9 Berechnung mittels Flächenformel</A><BR> <A CLASS="internal" HREF="#Statistische Bestimmung">3.10 Statistische Bestimmung</A><BR> </div> <A CLASS="internal" HREF="#Formeln, Anwendungen, offene Fragen">4 Formeln, Anwendungen, offene Fragen</A><BR> <div style="margin-left:2em;"> <A CLASS="internal" HREF="#Formeln, die π enthalten">4.11 Formeln, die π enthalten</A><BR> <div style="margin-left:2em;"> <A CLASS="internal" HREF="#Formeln der Geometrie">4.11.3 Formeln der Geometrie</A><BR> <A CLASS="internal" HREF="#Formeln der Analysis">4.11.4 Formeln der Analysis</A><BR> <A CLASS="internal" HREF="#Formeln der Physik">4.11.5 Formeln der Physik</A><BR> </div> <A CLASS="internal" HREF="#Anwendungen, Nutzen heutiger Berechnungen">4.12 Anwendungen, Nutzen heutiger Berechnungen</A><BR> <A CLASS="internal" HREF="#Offene Fragen">4.13 Offene Fragen</A><BR> </div> <A CLASS="internal" HREF="#Anhang für Liebhaber der Zahl π">5 Anhang für Liebhaber der Zahl π</A><BR> <div style="margin-left:2em;"> <A CLASS="internal" HREF="#Rekorde, Film und Kuriositäten">5.14 Rekorde, Film und Kuriositäten</A><BR> <A CLASS="internal" HREF="#Merkregeln">5.15 Merkregeln</A><BR> <A CLASS="internal" HREF="#Auf der Jagd nach π – Tabelle">5.16 Auf der Jagd nach π – Tabelle</A><BR> </div> <A CLASS="internal" HREF="#Quellen und Literatur">6 Quellen und Literatur</A><BR> <A CLASS="internal" HREF="#Weblinks">7 Weblinks</A><BR> </td></tr></table><P> <A NAME="Mathematische Grunddaten"><H2>Mathematische Grunddaten</H2> <A NAME="Definition"><H3>Definition</H3> Es existieren mehrere gleichwertige <strong>Definitionen</strong> für π, die Kreiszahl ist demnach festgelegt durch<p> <ul><li>das Verhältnis des Umfangs eines <A HREF="../../k/kr/kreis__geometrie_.html" title="Kreis (Geometrie)">Kreiseses</A> zu seinem <A HREF="../../d/du/durchmesser.html" title="Durchmesser">Durchmesser</A>, </li><li>die <A HREF="../../f/fl/fla_che.html" title="Fläche">Fläche</A> eines Kreises mit dem <A HREF="../../r/ra/radius.html" title="Radius">Radius</A> 1, </li><li>der Umfang eines Kreises mit dem Radius 1/2, </li><li>das Doppelte der kleinsten positiven Nullstelle des <A HREF="../../k/ko/kosinus.html" title="Kosinus">Kosinus</A> (nach <A HREF="../../e/ed/edmund_landau.html" title="Edmund Landau">Edmund Landau</A>).<p> </li></ul><A NAME="Irrationalität & Transzendenz"><H3>Irrationalität & Transzendenz</H3> <small></small> Die Zahl π ist keine <A HREF="../../r/ra/rationale_zahl.html" title="Rationale Zahl">rationale Zahl</A>. Das heißt, sie kann nicht als Verhältnis zweier <A HREF="../../g/ga/ganze_zahl.html" title="Ganze Zahl">ganzer Zahlen</A>, also als <A HREF="../../b/br/bruch__mathematik_.html" title="Bruch (Mathematik)">Bruch</A> geschrieben werden. Dies wurde <A HREF="../../1/17/1761.html" title="1761">1761</A> (oder <A HREF="../../1/17/1767.html" title="1767">1767</A>) von <A HREF="../../j/jo/johann_heinrich_lambert.html" title="Johann Heinrich Lambert">Johann Heinrich Lambert</A> bewiesen. Tatsächlich ist die Zahl sogar <A HREF="../../t/tr/transzendente_zahl.html" title="Transzendente Zahl">transzendent</A>. Dies bedeutet, dass es kein <A HREF="../../p/po/polynom.html" title="Polynom">Polynom</A> mit rationalen Koeffizienten gibt, dessen Nullstelle π ist. Als Konsequenz ergibt sich daraus, dass es unmöglich ist, π nur mit ganzen Zahlen oder Brüchen und Wurzeln auszudrücken. Die Transzendenz von π wurde von <A HREF="../../f/fe/ferdinand_von_lindemann.html" title="Ferdinand von Lindemann">Ferdinand von Lindemann</A> <A HREF="../../1/18/1882.html" title="1882">1882</A> bewiesen. Eine Folge davon ist unter anderem, dass die <A HREF="../../q/qu/quadratur_des_kreises.html" title="Quadratur des Kreises">Quadratur des Kreises</A> nur mit <A HREF="../../z/zi/zirkel__gera_t_.html" title="Zirkel (Gerät)">Zirkel</A> und <A HREF="../../l/li/lineal.html" title="Lineal">Lineal</A> nicht möglich ist.<p> <A NAME="Die ersten 200 Nachkommastellen"><H3>Die ersten 200 Nachkommastellen</H3> Wegen der Transzendenz von π lässt sich die <A HREF="../../m/ma/mathematische_konstanten.html" title="Mathematische Konstanten">mathematische Konstante</A> in einem <A HREF="../../s/st/stellenwertsystem.html" title="Stellenwertsystem">Stellenwertsystem</A> nur angenähert ausdrücken. Gerundet auf 200 Nachkommastellen beträgt ihr Wert<p> π = 3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 197 169 399 375 105 820 974 944 592 307 816 406 286 208 998 628 034 825 342 117 067 982 148 086 513 282 306 647 093 844 609 550 582 231 725 359 408 128 481 117 450 284 102 701 938 521 105 559 644 622 948 954 930 381 96<p> Die letzte Ziffer wurde dabei abgerundet.<p> <A NAME="Kettenbruchentwicklung"><H3>Kettenbruchentwicklung</H3> Eine andere Möglichkeit, reelle Zahlen darzustellen, ist die Kettenbruchentwicklung. Da π transzendent ist, ist auch diese Darstellung unendlich lang. Im Gegensatz zur <A HREF="../../e/eu/eulersche_zahl.html" title="Eulersche Zahl">Eulerschen Zahl</A> <em><A HREF="../../e/eu/eulersche_zahl.html" title="Eulersche Zahl">e</A></em> konnten aber bislang bei der Kettenbruchdarstellung von π keinerlei Regelmäßigkeiten festgestellt werden.<p> Die gleiche Genauigkeit wie bei den 200 Nachkommastellen erhält man mit 194 Teilnennern:<p> π = [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 84, 2, 1, 1, 15, 3, 13, 1, 4, 2, 6, 6, 99, 1, 2, 2, 6, 3, 5, 1, 1, 6, 8, 1, 7, 1, 2, 3, 7, 1, 2, 1, 1, 12, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 8, 1, 1, 2, 1, 6, 1, 1, 5, 2, 2, 3, 1, 2, 4, 4, 16, 1, 161, 45, 1, 22, 1, 2, 2, 1, 4, 1, 2, 24, 1, 2, 1, 3, 1, 2, 1, 1, 10, 2, 5, 4, 1, 2, 2, 8, 1, 5, 2, 2, 26, 1, 4, 1, 1, 8, 2, 42, 2, 1, 7, 3, 3, 1, 1, 7, 2, 4, 9, 7, 2, 3, 1, 57, 1, 18, 1, 9, 19, 1, 2, 18, 1, 3, 7, 30, 1, 1, 1, 3, 3, 3, 1, 2, 8, 1, 1, 2, 1, 15, 1, 2, 13, 1, 2, 1, 4, 1, 12, 1, 1, 3, 3, 28, 1, 10, 3, 2, 20, 1, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 5, 3, 2, 1, 6, 1, 4, ...]<p> <A NAME="Geschichte der Zahl π – von Schätzungen zur Rekordjagd"><H2>Geschichte der Zahl π – von Schätzungen zur Rekordjagd</H2> Kaum eine andere Zahl hat die Menschen in ihrer Geschichte mehr beschäftigt und fasziniert als die Kreiszahl π. Schon vor den Griechen suchten die Völker nach dieser geheimnisvollen Zahl und obschon die Schätzungen immer genauer wurden, gelang es erstmals dem <A HREF="../../g/gr/griechenland.html" title="Griechenland">griechischen</A> <A HREF="../../m/ma/mathematiker.html" title="Mathematiker">Mathematiker</A> <A HREF="../../a/ar/archimedes.html" title="Archimedes">Archimedes</A> um 250 v. Chr, diese Zahl mathematisch zu bändigen. In der weiteren Geschichte wurden die Versuche zur größtmöglichen Annäherung an π phasenweise zu einer regelrechten Rekordjagd, die zuweilen skurrile und auch aufopfernde Züge annahm.<p> <A NAME="Die alltägliche Praxis drängt zu ersten Schätzungen"><H3>Die alltägliche Praxis drängt zu ersten Schätzungen</H3> Aus sehr praktischen Erwägungen heraus versuchten die Menschen schon in sehr früher Zeit, dem Phänomen Kreis näher zu kommen. Sollten Räder beschlagen werden, war es wichtig zu wissen, welchen Umfang der Beschlag haben musste. Sollte eine Säule mit einem Kranz geschmückt werden, war der Umfang des Kranzes zu bestimmen. Sollte ein Fass mit Wein gefüllt werden, interessierten sich unsere Vorfahren für das nötige Volumen. Oder es sollte, wie die <A HREF="../../b/bi/bibel.html" title="Bibel">Bibel</A> im ersten Buch der Könige, Kapitel 7, Vers 23 berichtet, ein rundes Becken umspannt werden: <em>Hierauf fertigte er ein kreisrundes Becken an, das von einem Rand bis zum anderen 10 Ellen maß..., eine Schnur von 30 Ellen umspannte es.</em> Somit wird in der Bibel der Wert für π mit <strong>3</strong> angegeben. Diesen Wert nutzte man auch im alten <A HREF="../../c/ch/china.html" title="China">China</A>, selbst wenn eine einfache Messung durch ein Maßband zeigt, dass π in Wirklichkeit noch etwas größer ist als 3.<p> <small></small> Genauer waren die Angaben in <A HREF="../../a/a_/a_gypten.html" title="Ägypten">Ägypten</A>. Das älteste bekannte Rechenbuch der Welt, das Rechenbuch des Ahmes (auch <em>Papyrus Rhind</em>, 17. Jahrhundert v. Chr.), nennt den Wert (16/9)<sup>2</sup> = <strong>3,1604</strong>.... In <A HREF="../../i/in/indien.html" title="Indien">Indien</A> benutzte man in den Sulbasutras, den Schnurregeln zur Konstruktion von Altären, den Wert (26/15)<sup>2</sup> = <strong>3,0044</strong>... für π. In dem astronomischen Werk des <A HREF="../../p/pt/ptolema_us.html" title="Ptolemäus">Ptolemäus</A>, dem <A HREF="../../a/al/almagest.html" title="Almagest">Almagest</A> (ca. 100 n.Chr.), finden sich dann bereits Tabellen von Winkelfunktionen, für welche genauere Werte der Zahl π bekannt gewesen sein müssen. Ptolemäus benutzte den Bruch 377/120 = <strong>3,14167</strong>, die Grundlage für diese Berechnung schuf rund 350 Jahre zuvor Archimedes.<p> <A NAME="Archimedes von Syrakus"><H3>Archimedes von Syrakus</H3> Für <A HREF="../../a/ar/archimedes.html" title="Archimedes">Archimedes</A> und noch für viele Mathematiker nach ihm war unklar, ob die Berechnung von π nicht doch irgendwann zum Abschluss käme, ob π also eine rationale Zahl sei, was die jahrhundertelange Jagd auf die Zahl verständlich werden lässt. Lange dachte man, es sei nur die richtige Methode zur Berechnung noch nicht gefunden. <p> <A NAME="Die Möndchen des Hippokrates aus Chios"><H4>Die Möndchen des Hippokrates aus Chios</H4> Erst 1761/1767 konnte <A HREF="../../j/jo/johann_heinrich_lambert.html" title="Johann Heinrich Lambert">Johann Heinrich Lambert</A> die Irrationalität von π beweisen, auch wenn die Mathematiker dies schon lange vermutet hatten. Zwar war den griechischen <A HREF="../../p/ph/philosoph.html" title="Philosoph">Philosophen</A> seit dem <A HREF="../../s/sa/satz_des_pythagoras.html" title="Satz des Pythagoras">Satz des Pythagoras</A> mit der <A HREF="../../i/ir/irrationale_zahl.html" title="Irrationale Zahl">Irrationalität</A> von die Existenz derartiger Zahlen bekannt, dennoch hatte Archimedes keinen Grund, bei einem Kreis von vornherein eine rationale Darstellbarkeit der Flächenberechnung auszuschließen.<p> <small></small> Denn es gibt durchaus allseitig krummlinig begrenzte Flächen, die sogar von Kreisteilen eingeschlossen sind, die sich als rationale Zahl darstellen lassen. Bereits vor Archimedes konnte mittels der so genannten <em>Möndchen</em>, die dem griechischen Mathematiker Hippokrates von Chios (um 450 v. Chr.) zugeschrieben werden, gezeigt werden, dass die Flächen dieser Kreisteile rational ausgedrückt werden können. Mit Hilfe des <em>erweiterten Pythagoreischen Lehrsatzes</em> fanden schon die antiken Mathematiker heraus, dass die Summe zweier über den Segmenten der Katheten errichteter Kreisteile identisch mit der Fläche des zugehörigen rechtwinkligen Dreiecks ist.<p> <A NAME="Umbeschreibung und Einbeschreibung bis zu 96 Ecken"><H4>Umbeschreibung und Einbeschreibung bis zu 96 Ecken</H4> Häufig versuchten die Forscher, sich mit Vielecken dem Kreis anzunähern und auf diese Weise Näherungen für π zu gewinnen – so auch Archimedes. Archimedes von Syrakus (um <A HREF="../../2/28/280er_v__chr_.html" title="280er v. Chr.">287 v. Chr</A> - 212 v. Chr) war ein antiker griechischer <A HREF="../../m/ma/mathematiker.html" title="Mathematiker">Mathematiker</A>, <A HREF="../../p/ph/physiker.html" title="Physiker">Physiker</A> und <A HREF="../../i/in/ingenieur.html" title="Ingenieur">Ingenieur</A>. Er bewies, dass das Verhältnis des Umfangs eines <A HREF="../../k/kr/kreis__geometrie_.html" title="Kreis (Geometrie)">Kreiseses</A> zu seinem Durchmesser sich genauso verhält, wie das Verhältnis der Fläche des Kreises zum Quadrat des Radius. Mit umbeschriebenen und einbeschriebenen Vielecken bis hin zum 96-Eck berechnete er obere und untere Schranken für den Kreisumfang. Er kam zu der für die damalige Zeit äußerst bedeutsamen Abschätzung, dass das gesuchte Verhältnis etwas kleiner als 3 10/70 sein müsse, jedoch größer als 3 10/71: <dl><dd><dl><dd><dl><dd> </dd></dl></dd></dl></dd></dl>Archimedes kam über den Bruch 211875/67441 ferner zu der Annäherung <strong>3,14163</strong> <p> Die Bezeichnung "π" stammt nicht von Archimedes, sondern wurde erst <A HREF="../../1/17/1706.html" title="1706">1706</A> von dem englischen Mathematiker <A HREF="../../w/wi/william_jones.html" title="William Jones">William Jones</A> in seinem Werk <em>A New Introduction to Mathematics</em> für Archimedes Konstante eingeführt; für die Bezeichnung des Kreisumfangs war die Bezeichnung allerdings schon einige Zeit zuvor gebräuchlich. Zum standardisierten endgültigen Durchbruch gelangte der griechische Buchstabe als Bezeichnung der Kreiszahl dann mit seiner Adaption durch <A HREF="../../l/le/leonhard_euler.html" title="Leonhard Euler">Leonhard Euler</A> im Jahr <A HREF="../../1/17/1734.html" title="1734">1734</A>.<p> <A NAME="Genauer und genauer - von Zu Chongzhi über Ludolph van Ceulen zu John Machin"><H3>Genauer und genauer - von Zu Chongzhi über Ludolph van Ceulen zu John Machin</H3> Wie in manchen anderen gesellschaftlichen und kulturellen Bereichen gab es auch in der Mathematik in den westlichen Kulturen eine sehr lange Zeit der Stagnation nach Ende der Antike und während des Mittelalters. Fortschritte in der Annäherung an π erzielten in dieser Zeit vor allem <A HREF="../../c/ch/china.html" title="China">Chinesische</A> und <A HREF="../../p/pe/persien.html" title="Persien">Persische</A> Wissenschaftler. Um <A HREF="../../4/48/480.html" title="480">480</A> berechnete der chinesische Mathematiker und Astronom Zu Chongzhi (430-501) für die Kreiszahl 3,1415926 < π < 3,1415927, also im Grunde die ersten <strong>7</strong> Dezimalstellen exakt. Der persische Wissenschaftler Jamshid Masud Al-Kashi kalkulierte <A HREF="../../1/14/1424.html" title="1424">1424</A> bereits <strong>16</strong> Stellen genau. <table border="0" align="right" ><tr> <td ><small></small> <tr ---- > <td ><small></small> </td></tr><tr ---- > </tr></table> Im 16. Jahrhundert erwachte dann auch in Europa die Mathematik wieder aus ihrem langen Schlaf. <A HREF="../../1/15/1596.html" title="1596">1596</A> gelang es <A HREF="../../l/lu/ludolph_van_ceulen.html" title="Ludolph van Ceulen">Ludolph van Ceulen</A>, die ersten <strong>35</strong> Dezimalstellen von π zu berechnen. Angeblich opferte er 30 Jahre seines Lebens für diese Berechnung. Er war so stolz auf diese Leistung, dass er das Ergebnis auf seinem Grabstein verewigen ließ. Van Ceulen steuerte allerdings noch keine neuen Gedanken zur Berechnung bei. Er rechnete einfach nach der Methode des Archimedes weiter, aber während Archimedes beim 96-Eck aufhörte, führte Ludolph diese bis zum eingeschriebenen 2<sup>62</sup>-Eck fort. Der Name <em>Ludolf'sche Zahl</em> erinnert an seine Leistung. <p> Der englische Mathematiker <A HREF="../../j/jo/john_wallis.html" title="John Wallis">John Wallis</A> entwickelte <A HREF="../../1/16/1665.html" title="1665">1665</A> das nach ihm benannte <em>Wallissche Produkt</em>:<p> <dl><dd> <p> </dd></dl>Allmählich wurden die Rechnungen komplizierter, <A HREF="../../g/go/gottfried_wilhelm_leibniz.html" title="Gottfried Wilhelm Leibniz">Leibniz</A> steuerte <A HREF="../../1/16/1671.html" title="1671">1671</A> folgende Formel bei: <p> <dl><dd><p> </dd></dl>Der schottische Mathematiker <A HREF="../../j/ja/james_gregory.html" title="James Gregory">James Gregory</A> fand im Jahre <A HREF="../../1/16/1675.html" title="1675">1675</A> folgende Berechnungsformel:<p> <dl><dd><p> </dd></dl><A HREF="../../l/le/leonhard_euler.html" title="Leonhard Euler">Leonhard Euler</A> führt in seiner im Jahre <A HREF="../../1/17/1748.html" title="1748">1748</A> erschienenen <em>Introductio in Analysin Infinitorum</em> im ersten Bande π bereits auf <strong>148</strong> Stellen genau an. <p> <A HREF="../../h/ha/handwerk.html" title="Handwerk">Handwerker</A> benutzten in Zeiten vor <A HREF="../../r/re/rechenschieber.html" title="Rechenschieber">Rechenschieber</A> und <A HREF="../../t/ta/taschenrechner.html" title="Taschenrechner">Taschenrechner</A> die Näherung 22/7 = 3,142857... und berechneten damit vieles im Kopf. Der Fehler gegenüber π beträgt etwa 0,04%. Für alltägliche praktische Situationen war das völlig ausreichend. Eine andere oft genutzte Näherung war der Bruch 355/113 =3,1415929..., immerhin auf sieben Stellen genau.<p> Keine der bislang entwickelten Formeln konnte zur effizienten Berechnung von Näherungswerten an π dienen, auch die Formel des Inders <A HREF="../../s/sr/srinivasa_ramanujan.html" title="Srinivasa Ramanujan">Srinivasa Ramanujan</A> aus dem Jahr <A HREF="../../1/19/1914.html" title="1914">1914</A> war dazu noch nicht geeignet:<p> <dl><dd> <p> </dd></dl>John Machin berechnete mit seiner Formel von <A HREF="../../1/17/1706.html" title="1706">1706</A> die ersten 100 Stellen von π. Seine Formel<p> <dl><dd><p> </dd></dl>lässt sich zusammen mit der <A HREF="../../t/ta/taylorreihe.html" title="Taylorreihe">taylorschen Reihenentwicklung</A> der <A HREF="../../a/ar/arcus_tangens.html" title="Arcus-Tangens">Arcustangens</A>-Funktion für schnelle Berechnungen verwenden. Diese Formel lässt sich ableiten, indem man sie in Polarkoordinaten der <A HREF="../../k/ko/komplexe_zahl.html" title="Komplexe Zahl">komplexen Zahlen</A> schreibt, beginnend mit <dl><dd>.<p> </dd></dl><strong>Weitere schöne Berechnungsformeln:</strong><p> <dl><dd><p> </dd><dd><p> </dd></dl><A NAME="Moderne Näherungsrechnung und Bestimmung"><H2>Moderne Näherungsrechnung und Bestimmung</H2> <A NAME="David H. Bailey"><H3>David H. Bailey</H3> <A HREF="../../1/19/1996.html" title="1996">1996</A> entdeckte David H. Bailey, zusammen mit Peter Borwein und Simon Plouffe, eine neue Formel für π:<p> <dl><dd> <p> </dd></dl>Diese Formel erlaubt es auf einfache Weise, die <em>n</em>-te Stelle einer binären oder hexadezimalen Darstellung von π zu berechnen, ohne dass zuvor die <em>n</em>-1 vorherigen Ziffernstellen berechnet werden müssen. Baileys Website <A HREF="http://www.nersc.gov/~dhbailey/" class="external">[1]</A> enthält eine Herleitung des Verfahrens und auch Implementierungen in verschiedenen <A HREF="../../p/pr/programmiersprache.html" title="Programmiersprache">Programmiersprachen</A>.<p> <A NAME="Berechnung mittels Flächenformel"><H3>Berechnung mittels Flächenformel</H3><p> Diese Berechnung nutzt den Zusammenhang aus, dass in der Flächenformel des Kreises π enthalten ist und in Bezug zum Quadrat gesetzt werden kann.<p> Die Formel für den Flächeninhalt des Kreises : π · r²<p> Die Formel für den Flächeninhalt des Quadrates : (2r)²<p> Daraus ergibt sich, dass das Verhältnis der Flächeninhalte von Kreis und Quadrat gerade π/4 ergibt, π selbst lässt sich also als das Vierfache dieses Verhältnisses schreiben.<p> <strong>Programm</strong><p> Als Beispiel ist ein <A HREF="../../a/al/algorithmus.html" title="Algorithmus">Algorithmus</A> angegeben, in dem die Flächenformel zur näherungsweisen Berechnung von π demonstriert wird.<p> Man legt dazu über das Quadrat ein Gitter und berechnet für jeden einzelnen Gitterpunkt, ob er auch im Kreis liegt. Das Verhältnis der Gitterpunkte innerhalb des Kreises zu den Gitterpunkten innerhalb des Quadrats wird mit 4 multipliziert. Die Genauigkeit der damit gewonnenen Näherung von π hängt von der Gitterweite ab und wird mittels r kontrolliert. Mit r = 10 erhält man z. B. 3,17 und mit r = 100 bereits 3,1417.<p> <pre>r = 1000 kreistreffer = 0 quadrattreffer = (2*r)^2 for y = -r to r for x = -r to r if wurzel(x^2+y^2) <= r then kreistreffer = kreistreffer + 1 ausgabe (4*kreistreffer/quadrattreffer) { 3.141549 }<p> </pre><A NAME="Statistische Bestimmung"><H3>Statistische Bestimmung</H3> Eine sehr interessante Methode zur Bestimmung von π ist die <A HREF="../../s/st/statistik.html" title="Statistik">statistische Methode</A>. Für die Berechnung lässt man zufällige Punkte auf ein Quadrat "regnen" und berechnet, ob sie innerhalb oder außerhalb eines eingeschriebenen Kreises liegen. Das Verhältnis von innen- zu außenliegenden Punkten ist gleich π.<p> Die Berechnung mittels Flächenformel ist ein <A HREF="../../m/mo/monte_carlo_algorithmus.html" title="Monte-Carlo-Algorithmus">Monte-Carlo-Algorithmus</A>. Sie verwendet Wahrscheinlichkeiten und ist deshalb nur eine Näherung von π. Sie ist deshalb nie vollständig korrekt, sondern nur mit einer gewissen <A HREF="../../i/ir/irrtumswahrscheinlichkeit.html" title="Irrtumswahrscheinlichkeit">Irrtumswahrscheinlichkeit</A>. Durch das <A HREF="../../g/ge/gesetz_der_groa_en_zahlen.html" title="Gesetz der großen Zahlen">Gesetz der großen Zahl</A> steigt jedoch die Genauigkeit mit der Anzahl der vermessenen Punkte.<p> Der folgende Algorithmus ist in der Programmiersprache <A HREF="../../j/ja/java__programmiersprache_.html" title="Java (Programmiersprache)">Java</A> geschrieben:<p> <pre>public static double berechne_pi (int tropfenzahl) { double pi = 0; int innerhalb = 0; int gesamt = tropfenzahl; while (tropfenzahl > 0) { //generiere Tropfen und addiere je nach Zugehoerigkeit double dotx = 2 * Math.random() - 1; double doty = 2 * Math.random() - 1; if (Math.sqrt(dotx*dotx + doty*doty) <= 1 ) { //System.out.println("Punkt (" + dotx + "|" + doty + ") liegt innen."); innerhalb++; } else { //System.out.println("Punkt (" + dotx + "|" + doty + ") liegt außen."); } tropfenzahl--; } pi = 4*(double)innerhalb/gesamt; return pi; }<p> </pre><A NAME="Formeln, Anwendungen, offene Fragen"><H2>Formeln, Anwendungen, offene Fragen</H2> <A NAME="Formeln, die π enthalten"><H3>Formeln, die π enthalten</H3><p> Obwohl das Problem der <A HREF="../../q/qu/quadratur_des_kreises.html" title="Quadratur des Kreises">Quadratur des Kreises</A> ein geometrisches ist, spielt π auch in anderen Bereichen der Mathematik und Physik eine wichtige Rolle.<p> <A NAME="Formeln der Geometrie"><H4>Formeln der Geometrie</H4><p> In der <A HREF="../../g/ge/geometrie.html" title="Geometrie">Geometrie</A> treten die Eigenschaften von π als Kreiszahl unmittelbar hervor. <ul><li><A HREF="../../u/um/umfang.html" title="Umfang">Umfang</A> eines Kreises mit Radius r: U = 2 π r </li><li><A HREF="../../f/fl/fla_che.html" title="Fläche">Fläche</A> eines Kreises mit Radius r: A = π r<sup>2</sup> </li><li><A HREF="../../v/vo/volumen.html" title="Volumen">Volumen</A> einer <A HREF="../../k/ku/kugel.html" title="Kugel">Kugel</A> mit Radius r: V = (4/3) π r<sup>3</sup> </li><li><A HREF="../../o/ob/oberfla_che.html" title="Oberfläche">Oberfläche</A> einer Kugel mit Radius r: O = 4 π r<sup>2</sup> </li><li><A HREF="../../v/vo/volumen.html" title="Volumen">Volumen</A> eines Zylinders mit Radius r und Höhe a: V = r<sup>2</sup> π a </li><li><A HREF="../../v/vo/volumen.html" title="Volumen">Volumen</A> eines durch die Rotation der Funktion <em>f</em>(<em>x</em>) um die X-Achse definierten beliebigen Drehkörpers mit den Grenzen <em>a</em> und <em>b</em>: <p> </li></ul><A NAME="Formeln der Analysis"><H4>Formeln der <A HREF="../../a/an/analysis.html" title="Analysis">Analysis</A></H4><p> , <A HREF="../../1/17/1768.html" title="1768">1768</A>-<A HREF="../../1/18/1830.html" title="1830">1830</A></small>]] π spielt daneben in vielen mathematischen Zusammenhängen eine Rolle, zum Beispiel bei <ul><li> <A HREF="../../u/un/unendliche_reihe.html" title="Unendliche Reihe">unendlichen Reihen</A>: (<A HREF="../../l/le/leonhard_euler.html" title="Leonhard Euler">Euler</A>) </li><li> der <A HREF="../../n/no/normalverteilung.html" title="Normalverteilung">Gaußschen Glockenkurve</A>: </li><li> der Näherung der <A HREF="../../f/fa/fakulta_t__mathematik_.html" title="Fakultät (Mathematik)">Fakultät</A>: (<A HREF="../../s/st/stirling_formel.html" title="Stirling-Formel">Stirlingsche Formel</A> für große <em>n</em>) </li><li> der <A HREF="../../f/fo/fourier_transformation.html" title="Fourier-Transformation">Fourier-Transformation</A>: </li><li> der <A HREF="../../e/eu/eulersche_identita_t.html" title="Eulersche Identität">Eulerschen Identität</A>: e<sup>π i</sup> + 1 = 0<p> </li></ul>Die Eulersche Identität als Kombination von π mit der ebenfalls irrationalen <A HREF="../../e/eu/eulersche_zahl.html" title="Eulersche Zahl">Eulerschen Zahl</A> <em>e</em> und der <A HREF="../../i/im/imagina_re_einheit.html" title="Imaginäre Einheit">Imaginäre Einheit</A> <em>i</em> wird als eine der <em>schönsten mathematischen Formeln</em> angesehen.<p> <A NAME="Formeln der Physik"><H4>Formeln der <A HREF="../../p/ph/physik.html" title="Physik">Physik</A></H4><p> In der Physik spielt π neben <ul><li> der Kreisbewegung: ω = 2 π f (Winkelgeschwindigkeit gleich 2 π mal Umlauffrequenz) </li></ul>vor allem bei <A HREF="../../w/we/welle__physik_.html" title="Welle (Physik)">Wellenn</A> eine Rolle, da dort π über die Sinus- und Kosinusfunktion eingeht. Somit also zum Beispiel <ul><li> in der <A HREF="../../q/qu/quantenmechanik.html" title="Quantenmechanik">Quantenmechanik</A>: (<A HREF="../../h/he/heisenbergsche_unscha_rferelation.html" title="Heisenbergsche Unschärferelation">Heisenbergsche Unschärferelation</A>).<p> </li></ul><A NAME="Anwendungen, Nutzen heutiger Berechnungen"><H3>Anwendungen, Nutzen heutiger Berechnungen</H3> Die Näherungswerte und -verfahren zur Kreiszahl waren lange Zeit insbesondere für die angewandten <A HREF="../../w/wi/wissenschaft.html" title="Wissenschaft">Wissenschaften</A> wie etwa im Ingenieurbau sehr wertvoll; die neueren Näherungswerte hingegen haben bereits so viele Stellen, dass ein praktischer Nutzen kaum noch gegeben ist. Es genügen beipielsweise zur Berechnung des Kreisumfangs auf einen Millimeter Genauigkeit<br> - bei einem Radius von 30 Metern vier Dezimalstellen von π<br> - bei dem Erdradius zehn Dezimalstellen;<br> - bei einen Radius mit dem Abstand Erde-Sonne 15 Dezimalstellen;<br> Bereits mit 100 Dezimalstellen sind auf einen Millimeter genaue Berechnungen für Kreisumfänge möglich, deren Radius die menschliche Vorstellungskraft nahezu sprengt – der derzeitige Näherungsrekord liegt bei 1,241 <A HREF="../../b/bi/billion.html" title="Billion">Billionen</A> Stellen.<p> Einziger heute erkennbarer praktischer Nutzen dieser aufwändigen Rechnungen liegt in der Möglichkeit, die Computer-Hardware zu testen, da bereits kleine Rechenfehler zu vielen falschen Stellen von π führen würden. Der mathematischen Theorie verhelfen die Berechnungen auf dem Gebiet der Zufallsstatistik zu neuen Erkenntnissen, wie im folgenden Abschnitt beschrieben wird.<p> Pi spielt in verschiedenen Zweigen der <A HREF="../../m/ma/mathematik.html" title="Mathematik">Mathematik</A> eine wichtige Rolle - nicht nur innerhalb der Geometrie, sondern auch in der <A HREF="../../a/al/algebra.html" title="Algebra">Algebra</A>, <A HREF="../../a/an/analysis.html" title="Analysis">Analysis</A>, <A HREF="../../t/tr/trigonometrische_funktion.html" title="Trigonometrische Funktion">Trigonometrische Funktion</A> und <A HREF="../../z/za/zahlentheorie.html" title="Zahlentheorie">Zahlentheorie</A>.<p> <A NAME="Offene Fragen"><H3>Offene Fragen</H3> Die zur Zeit drängendste mathematische Frage bezüglich π ist, ob sie eine <A HREF="../../n/no/normale_zahl.html" title="Normale Zahl">normale Zahl</A> ist, d.h. ob sie zum Beispiel in einer binären (oder jeder anderen <A HREF="../../s/st/stellenwertsystem.html" title="Stellenwertsystem">n-ären</A>) Zahlendarstellung jede mögliche Binär- bzw. sonstige Zifferngruppe gleichermaßen enthält - so wie dies die Statistik erwarten ließe, wenn man eine Zahl vollkommen nach dem <A HREF="../../z/zu/zufall.html" title="Zufall">Zufall</A> erzeugen würde. (Beispielsweise findet sich die dem Wort "wiki" entsprechende Bitfolge 10111010010101101001 ab der 889.356.628. Stelle der <A HREF="../../b/bi/bina_rsystem.html" title="Binärsystem">Binärdarstellung</A> von π.)<p> In letzter Konsequenz würde dies beispielsweise bedeuten, dass die Kreiszahl alle bisher und zukünftig geschriebenen Bücher irgendwo in codierter Binär-Form enthalten muss. <p> Bailey und Crandal zeigten im Jahr <A HREF="../../2/20/2000.html" title="2000">2000</A>, dass die Existenz der oben angegebenen Bailey-Borwein-Plouffe-Formel und ähnlicher Ableitungen belegt, dass die Normalität von π zur Basis 2 (wie auch die von verschiedenen anderen Konstanten) auf eine bestehende Vermutung der <A HREF="../../c/ch/chaostheorie.html" title="Chaostheorie">Chaostheorie</A> reduziert werden kann. Für weitere Details dazu siehe die <A HREF="http://crd.lbl.gov/~dhbailey/" class="external">Webseite von Bailey</A>.<p> <A NAME="Anhang für Liebhaber der Zahl π"><H2>Anhang für Liebhaber der Zahl π</H2> <A NAME="Rekorde, Film und Kuriositäten"><H3>Rekorde, Film und Kuriositäten</H3> <ul><li>Der derzeitige Rekord der Berechnung von pi wird durch Yasumasa Kanada auf einem HITACHI <A HREF="../../s/su/supercomputer.html" title="Supercomputer">Supercomputer</A> mit 1,241 Billionen Stellen gehalten. </li><li>Der aktuelle Rekord im <A HREF="../../a/au/auswendiglernen.html" title="Auswendiglernen">Auswendiglernen</A> von pi-Nachkommastellen liegt bei 42.195, aufgestellt am <A HREF="../../1/18/18__februar.html" title="18. Februar">18. Februar</A> <A HREF="../../1/19/1995.html" title="1995">1995</A> vom Japaner Hiroyuki Goto. </li><li>Den deutschen Rekord hat Ulrich Voigt am <A HREF="../../2/2_/2__juni.html" title="2. Juni">2. Juni</A> <A HREF="../../2/20/2003.html" title="2003">2003</A> auf 5000 erhöht. </li><li>Die ersten eine Million Ziffern von π und ihres Kehrwerts 1/π sind als Datei beim <A HREF="../../p/pr/projekt_gutenberg.html" title="Projekt Gutenberg">Projekt Gutenberg</A> erhältlich. </li><li>Freunde der Zahl Pi gedenken einmal am <A HREF="../../1/14/14__ma_rz.html" title="14. März">14. März</A> der Kreiszahl mit dem <em>π-Tag</em>, der Grund für die Wahl dieses Tages liegt in der amerikanischen Datumsnotation 3/14. Zum anderen wird ein <em>π-Annäherungstag</em> am <A HREF="../../2/22/22__juli.html" title="22. Juli">22. Juli</A> gefeiert, mit dem die Annäherung von Archimedes an 22/7 geehrt werden soll. </li><li>Aus <em>Sternstunden der modernen Mathematik</em> von Keith Devlin: <em>Ein weiteres Beispiel, in dem Pi überraschend eine Rolle spielt, ist das folgende: Wenn man ein Streichholz auf ein Brett wirft, das durch parallele, jeweils eine Streichholzlänge voneinander entfernte Linien unterteilt ist, dann beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass das Streichholz so fällt, dass es eine Linie schneidet, genau 2/pi</em> </li><li><A HREF="../../1/19/1981.html" title="1981">1981</A> wurde Carl Sagans Buch <em>Contact</em> veröffentlicht. Das Buch beschreibt das <A HREF="../../s/se/seti.html" title="SETI">SETI</A>-Programm zur Suche nach außerirdischer Intelligenz und damit verbundene philosophische Betrachtungen. Es endet mit der fiktiven Beantwortung der Frage, ob das <A HREF="../../u/un/universum.html" title="Universum">Universum</A>] zufällig entstanden ist oder planvoll geschaffen wurde. Die Zahl π spielt für die spannende und im Rahmen der Handlung folgerichtige Antwort die zentrale Rolle. </li></ul><small></small> <ul><li><A HREF="../../1/19/1998.html" title="1998">1998</A> veröffentlichte Darren Aronovsky (Requiem for a Dream) den Film "pi", in dem ein mathematisches Genie (Sean Gullette als "Maximilian Cohen") die Weltformel aus pi herausfiltern möchte. </li><li>Im Jahre <A HREF="../../1/18/1897.html" title="1897">1897</A> gab es im <A HREF="../../u/us/usa.html" title="USA">US</A>-<A HREF="../../b/bu/bundesstaat.html" title="Bundesstaat">Bundesstaat</A> <A HREF="../../i/in/indiana.html" title="Indiana">Indiana</A> einen <A HREF="../../g/ge/gesetzentwurf.html" title="Gesetzentwurf">Gesetzentwurf</A>, mit dem die Zahl π per <A HREF="../../g/ge/gesetz.html" title="Gesetz">Gesetz</A> als 3,2 definiert werden sollte. Der Hobbymathematiker Edwin J. Goodwin war sicher, die Quadratur des Kreises gefunden zu haben. Er schlug der Regierung den Handel vor, auf alle Tantiemen aus der Anwendung seiner Entdeckung in der mathematischen Aus- und Weiterbildung zu verzichten, wenn seine Entdeckung zum Gesetz erhoben würde. Erst nach der Aufklärung durch einen "gestandenen" Mathematiker, der von dem Gesetzesvorhaben zufällig in der Zeitung las, vertagte die zweite Kammer des Parlaments den vom Repräsentantenhaus bereits beschlossenen Entwurf auf unbestimmte Zeit.<p> </li></ul><A NAME="Merkregeln"><H3>Merkregeln</H3> Immer wieder haben lange Zahlenfolgen zu einfachen Merksätzen geführt, bei denen die Anzahl der Buchstaben jeden Wortes jeweils eine Stelle der Zahl anzeigt:<br> Der im Deutschen sicherlich bekannteste Merksatz ist folgender: <dl><dd><em>Wie, o dies π. Macht ernstlich so vielen viele Müh,</em><br><em>Lernt immerhin, Jünglinge, leichte Verselein, wie so zum Beispiel dies dürfte zu merken sein!</em><p> </dd></dl>Ausführlich bis auf 31 Stellen: <dl><dd><em>Nie, o Gott, o guter, verliehst Du meinem Hirne die Kraft, mächtige Zahlreih'n dauernd verkettet bis in die späteste Zeit getreu zu merken; drum hab' ich Ludolfen mir zu Lettern umgeprägt.</em><p> </dd></dl>Kürzer ist: <em>Gib O Gott, O Vater Fähigkeit zu lernen!</em><br> Oder: <em>Ist's doch, o Isaak, schwierig zu wissen wofür sie steht!</em><p> Viele Stellen hinter dem Komma verbirgt diese englische Eloge: <dl><dd><em>Now I, even I, would celebrate. In rhymes unapt, the great<br>Immortal Syracusan, rivaled nevermore, who in his wondrous lore, passed on before, left men his guidance, how to circles mensurate.</em><p> </dd></dl>Der folgende französische Merkspruch ehrt ebenfalls den Archimedes, lässt dann allerdings an Klarheit zu wünschen: <dl><dd><em>Que j'aime à faire connaître un nombre utile aux sages! Immortel Archimède, artiste, ingénieur,</em><br><em>Qui de ton jugement peut priser la valeur? Pour moi ton problème eut de pareils avantages.</em><p> </dd></dl>Dann lieber gleich plancker Nonsens? <dl><dd><em>How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics. All of thy geometry, Herr Planck, is fairly hard.</em><p> </dd></dl><A NAME="Auf der Jagd nach π – Tabelle"><H3>Auf der Jagd nach π – Tabelle</H3> <table border="1" cellpadding="3" cellspacing="0" style="width:650px" ><tr ---- > <td > <strong>Mathematiker</strong> </td><td > <strong>Jahr</strong> </td><td style="text-align:right" > <strong>Dezimalstellen</strong> </td></tr><tr ---- > <td > Ägypten, Rechenbuch des Ahmes (Papyrus Rhind) </td><td > 17. Jahrhundert v. Chr. </td><td style="text-align:right" > 1 </td></tr><tr ---- > <td > <A HREF="../../a/ar/archimedes.html" title="Archimedes">Archimedes</A> </td><td > ca. 250 v. Chr. </td><td style="text-align:right" > 3 </td></tr><tr ---- > <td > Zu Chongzhi </td><td > ca. 480 </td><td style="text-align:right" > 7 </td></tr><tr ---- > <td > Jamshid Masud Al-Kashi </td><td > ca. 1424 </td><td style="text-align:right" > 16 </td></tr><tr ---- > <td > <A HREF="../../l/lu/ludolph_van_ceulen.html" title="Ludolph van Ceulen">Ludolph van Ceulen</A> </td><td > 1596 </td><td style="text-align:right" > 35 </td></tr><tr ---- > <td > <A HREF="../../j/ju/jurij_vega.html" title="Jurij Vega">Jurij Vega</A> </td><td > 1794 </td><td style="text-align:right" > 136 </td></tr><tr ---- > <td > William Shanks </td><td > 1874 </td><td style="text-align:right" > 527 </td></tr><tr ---- > <td > Levi B. Smith, John W. Wrench </td><td > 1949 </td><td style="text-align:right" > 1.120 </td></tr><tr ---- > <td > Daniel Shanks, John W. Wrench </td><td > 1961 </td><td style="text-align:right" > 100.265 </td></tr><tr ---- > <td > Yasumasa Kanada, Sayaka Yoshino, Yoshiaki Tamura </td><td > 1982 </td><td style="text-align:right" > 16.777.206 </td></tr><tr ---- > <td > Yasumasa Kanada, Yoshiaki Tamura, Yoshinobu Kubo </td><td > 1987 </td><td style="text-align:right" > 134.217.700 </td></tr><tr ---- > <td > Chudnovskys </td><td > 1989 </td><td style="text-align:right" > 1.011.196.691 </td></tr><tr ---- > <td > Yasumasa Kanada, Daisuke Takahashi </td><td > 1997 </td><td style="text-align:right" > 51.539.600.000 </td></tr><tr ---- > <td > Yasumasa Kanada, Daisuke Takahashi </td><td > 1999 </td><td style="text-align:right" > 206.158.430.000 </td></tr><tr ---- > <td > Yasumasa Kanada </td><td > 2002 </td><td style="text-align:right" > 1.241.100.000.000 </td></tr></table><p> <em>Siehe auch:</em> <A HREF="../../l/li/liste_von_mathematikern.html" title="Liste von Mathematikern">Liste der Mathematiker</A><p> <A NAME="Quellen und Literatur"><H2>Quellen und Literatur</H2> <ul><li>David Blatner: <em>Pi, Magie einer Zahl</em>. Rowohlt Taschenbuch Verlag 2001. ISBN 3-499-61176-7 </li><li>Jörg Arndt & Christoph Haenel: <em>Pi-Algorithmen, Computer, Arithmetik</em> (mit CD-Rom). Springer Verlag 1998, 2000 (2. Auflage). ISBN 3-540-66258-8 </li><li>Jonathan M. Borwein & Peter B. Borwein: <em>Pi and the AGM</em>, Wiley Interscience, 1998, ISBN 047131515X. </li><li>Keith Devlin, <em>Sternstunden der modernen Mathematik</em>. DTV, München 1992. ISBN 3423330163 </li><li>Paul Karlson: <em>Vom Zauber der Zahlen. Eine unterhaltsame Mathematik für Jedermann.</em> (8., völlig neu überarb. Aufl.). Verlag Ullstein, Berlin 1965. ISBN B0000BJZH4 </li><li>Egmont Colerus: <em>Vom Einmaleins zum Integral. Mathematik für Jedermann.</em> Rowohlt, 1982 ISBN 34-9916-692-5 </li><li>Heinrich Tietze: <em>Mathematische Probleme. Gelöste und ungelöste mathematische Probleme aus alter und neuer Zeit. Vierzehn Vorlesungen für Laien und Freunde der Mathematik.</em> C.H. Beck'sche Verlagsbuchhandlung, München 1990 ISBN 34-0602-535-8<p> </li></ul><A NAME="Weblinks"><H2>Weblinks</H2> <ul><li> <A HREF="http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/HistTopics/Pi_through_the_ages.html" class="external">Geschichte der Zahl pi</A> </li><li> <A HREF="http://www.madeasy.de/2/pi.htm" class="external">eine Seite über die Zahl pi mit einigen Bildern und vielen Links</A> </li><li> <A HREF="http://www.cecm.sfu.ca/pi/index.html" class="external">sehr ausführliche englische pi-Seite</A> </li><li> <A HREF="http://pi314.at/" class="external">Freunde der Zahl Pi</A> </li><li> <A HREF="http://www.angio.net/pi/piquery" class="external">The Pi-Search Page</A> - Ziffernfolgen innerhalb von pi suchen </li><li> <A HREF="http://www.pi-world-ranking-list.com/" class="external">Weltrangliste der pi-Auswendiglerner</A> </li><li> <A HREF="http://pi314.at/zirkumferenz/" class="external">Die Pi-Konferenz</A> </li><li> <A HREF="http://www.anderegg-web.ch/phil/archimedes.htm" class="external">Archimedes und die Ermittlung der Kreiszahl</A><p> </li></ul><hr> <strong>Beurteilung:</strong> <pre><small>Exzellenter Artikel</small> <p> </pre><p> <p> <p> <p> <p> <p> <p> <p> <p></div><br><div id=footer><table border=0><tr><td> <small>Dies ist ein Artikel aus der freien Enzyklopädie <a href="http://de.wikipedia.org">Wikipedia</a>. Stand: August 2004. Der Artikel steht unter der <a href="http://www.gnu.org/licenses/fdl.txt">GNU Free Documentation License</a>.</small></td></tr></table></div>