Kreiszahl
Die Kreiszahl π (pi) beschreibt das Verhältnis des Umfangs eines Kreiseses zu seinem Durchmesser. Sie hat ungefähr den Wert
M Mittelpunkt, r Radius, d Durchmesser |
Mathematische Grunddaten
Definition
Es existieren mehrere gleichwertige Definitionen für π, die Kreiszahl ist demnach festgelegt durchIrrationalität & Transzendenz
Die Zahl π ist keine rationale Zahl. Das heißt, sie kann nicht als Verhältnis zweier ganzer Zahlen, also als Bruch geschrieben werden. Dies wurde 1761 (oder 1767) von Johann Heinrich Lambert bewiesen. Tatsächlich ist die Zahl sogar transzendent. Dies bedeutet, dass es kein Polynom mit rationalen Koeffizienten gibt, dessen Nullstelle π ist. Als Konsequenz ergibt sich daraus, dass es unmöglich ist, π nur mit ganzen Zahlen oder Brüchen und Wurzeln auszudrücken. Die Transzendenz von π wurde von Ferdinand von Lindemann 1882 bewiesen. Eine Folge davon ist unter anderem, dass die Quadratur des Kreises nur mit Zirkel und Lineal nicht möglich ist.
Die ersten 200 Nachkommastellen
Wegen der Transzendenz von π lässt sich die mathematische Konstante in einem Stellenwertsystem nur angenähert ausdrücken. Gerundet auf 200 Nachkommastellen beträgt ihr Wert
π = 3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 197 169 399 375 105 820 974 944 592 307 816 406 286 208 998 628 034 825 342 117 067 982 148 086 513 282 306 647 093 844 609 550 582 231 725 359 408 128 481 117 450 284 102 701 938 521 105 559 644 622 948 954 930 381 96
Die letzte Ziffer wurde dabei abgerundet.
Kettenbruchentwicklung
Eine andere Möglichkeit, reelle Zahlen darzustellen, ist die Kettenbruchentwicklung. Da π transzendent ist, ist auch diese Darstellung unendlich lang. Im Gegensatz zur Eulerschen Zahl e konnten aber bislang bei der Kettenbruchdarstellung von π keinerlei Regelmäßigkeiten festgestellt werden.
Die gleiche Genauigkeit wie bei den 200 Nachkommastellen erhält man mit 194 Teilnennern:
π = [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 84, 2, 1, 1, 15, 3, 13, 1, 4, 2, 6, 6, 99, 1, 2, 2, 6, 3, 5, 1, 1, 6, 8, 1, 7, 1, 2, 3, 7, 1, 2, 1, 1, 12, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 8, 1, 1, 2, 1, 6, 1, 1, 5, 2, 2, 3, 1, 2, 4, 4, 16, 1, 161, 45, 1, 22, 1, 2, 2, 1, 4, 1, 2, 24, 1, 2, 1, 3, 1, 2, 1, 1, 10, 2, 5, 4, 1, 2, 2, 8, 1, 5, 2, 2, 26, 1, 4, 1, 1, 8, 2, 42, 2, 1, 7, 3, 3, 1, 1, 7, 2, 4, 9, 7, 2, 3, 1, 57, 1, 18, 1, 9, 19, 1, 2, 18, 1, 3, 7, 30, 1, 1, 1, 3, 3, 3, 1, 2, 8, 1, 1, 2, 1, 15, 1, 2, 13, 1, 2, 1, 4, 1, 12, 1, 1, 3, 3, 28, 1, 10, 3, 2, 20, 1, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 5, 3, 2, 1, 6, 1, 4, ...]
Geschichte der Zahl π – von Schätzungen zur Rekordjagd
Kaum eine andere Zahl hat die Menschen in ihrer Geschichte mehr beschäftigt und fasziniert als die Kreiszahl π. Schon vor den Griechen suchten die Völker nach dieser geheimnisvollen Zahl und obschon die Schätzungen immer genauer wurden, gelang es erstmals dem griechischen Mathematiker Archimedes um 250 v. Chr, diese Zahl mathematisch zu bändigen. In der weiteren Geschichte wurden die Versuche zur größtmöglichen Annäherung an π phasenweise zu einer regelrechten Rekordjagd, die zuweilen skurrile und auch aufopfernde Züge annahm.
Die alltägliche Praxis drängt zu ersten Schätzungen
Aus sehr praktischen Erwägungen heraus versuchten die Menschen schon in sehr früher Zeit, dem Phänomen Kreis näher zu kommen. Sollten Räder beschlagen werden, war es wichtig zu wissen, welchen Umfang der Beschlag haben musste. Sollte eine Säule mit einem Kranz geschmückt werden, war der Umfang des Kranzes zu bestimmen. Sollte ein Fass mit Wein gefüllt werden, interessierten sich unsere Vorfahren für das nötige Volumen. Oder es sollte, wie die Bibel im ersten Buch der Könige, Kapitel 7, Vers 23 berichtet, ein rundes Becken umspannt werden: Hierauf fertigte er ein kreisrundes Becken an, das von einem Rand bis zum anderen 10 Ellen maß..., eine Schnur von 30 Ellen umspannte es. Somit wird in der Bibel der Wert für π mit 3 angegeben. Diesen Wert nutzte man auch im alten China, selbst wenn eine einfache Messung durch ein Maßband zeigt, dass π in Wirklichkeit noch etwas größer ist als 3.
Genauer waren die Angaben in Ägypten. Das älteste bekannte Rechenbuch der Welt, das Rechenbuch des Ahmes (auch Papyrus Rhind, 17. Jahrhundert v. Chr.), nennt den Wert (16/9)2 = 3,1604.... In Indien benutzte man in den Sulbasutras, den Schnurregeln zur Konstruktion von Altären, den Wert (26/15)2 = 3,0044... für π. In dem astronomischen Werk des Ptolemäus, dem Almagest (ca. 100 n.Chr.), finden sich dann bereits Tabellen von Winkelfunktionen, für welche genauere Werte der Zahl π bekannt gewesen sein müssen. Ptolemäus benutzte den Bruch 377/120 = 3,14167, die Grundlage für diese Berechnung schuf rund 350 Jahre zuvor Archimedes.
Archimedes von Syrakus
Für Archimedes und noch für viele Mathematiker nach ihm war unklar, ob die Berechnung von π nicht doch irgendwann zum Abschluss käme, ob π also eine rationale Zahl sei, was die jahrhundertelange Jagd auf die Zahl verständlich werden lässt. Lange dachte man, es sei nur die richtige Methode zur Berechnung noch nicht gefunden.
Die Möndchen des Hippokrates aus Chios
Erst 1761/1767 konnte Johann Heinrich Lambert die Irrationalität von π beweisen, auch wenn die Mathematiker dies schon lange vermutet hatten. Zwar war den griechischen Philosophen seit dem Satz des Pythagoras mit der Irrationalität von die Existenz derartiger Zahlen bekannt, dennoch hatte Archimedes keinen Grund, bei einem Kreis von vornherein eine rationale Darstellbarkeit der Flächenberechnung auszuschließen.
Denn es gibt durchaus allseitig krummlinig begrenzte Flächen, die sogar von Kreisteilen eingeschlossen sind, die sich als rationale Zahl darstellen lassen. Bereits vor Archimedes konnte mittels der so genannten Möndchen, die dem griechischen Mathematiker Hippokrates von Chios (um 450 v. Chr.) zugeschrieben werden, gezeigt werden, dass die Flächen dieser Kreisteile rational ausgedrückt werden können. Mit Hilfe des erweiterten Pythagoreischen Lehrsatzes fanden schon die antiken Mathematiker heraus, dass die Summe zweier über den Segmenten der Katheten errichteter Kreisteile identisch mit der Fläche des zugehörigen rechtwinkligen Dreiecks ist.
Umbeschreibung und Einbeschreibung bis zu 96 Ecken
Häufig versuchten die Forscher, sich mit Vielecken dem Kreis anzunähern und auf diese Weise Näherungen für π zu gewinnen – so auch Archimedes. Archimedes von Syrakus (um 287 v. Chr - 212 v. Chr) war ein antiker griechischer Mathematiker, Physiker und Ingenieur. Er bewies, dass das Verhältnis des Umfangs eines Kreiseses zu seinem Durchmesser sich genauso verhält, wie das Verhältnis der Fläche des Kreises zum Quadrat des Radius. Mit umbeschriebenen und einbeschriebenen Vielecken bis hin zum 96-Eck berechnete er obere und untere Schranken für den Kreisumfang. Er kam zu der für die damalige Zeit äußerst bedeutsamen Abschätzung, dass das gesuchte Verhältnis etwas kleiner als 3 10/70 sein müsse, jedoch größer als 3 10/71:
Die Bezeichnung "π" stammt nicht von Archimedes, sondern wurde erst 1706 von dem englischen Mathematiker William Jones in seinem Werk A New Introduction to Mathematics für Archimedes Konstante eingeführt; für die Bezeichnung des Kreisumfangs war die Bezeichnung allerdings schon einige Zeit zuvor gebräuchlich. Zum standardisierten endgültigen Durchbruch gelangte der griechische Buchstabe als Bezeichnung der Kreiszahl dann mit seiner Adaption durch Leonhard Euler im Jahr 1734.
Genauer und genauer - von Zu Chongzhi über Ludolph van Ceulen zu John Machin
Wie in manchen anderen gesellschaftlichen und kulturellen Bereichen gab es auch in der Mathematik in den westlichen Kulturen eine sehr lange Zeit der Stagnation nach Ende der Antike und während des Mittelalters. Fortschritte in der Annäherung an π erzielten in dieser Zeit vor allem Chinesische und Persische Wissenschaftler. Um 480 berechnete der chinesische Mathematiker und Astronom Zu Chongzhi (430-501) für die Kreiszahl 3,1415926 < π < 3,1415927, also im Grunde die ersten 7 Dezimalstellen exakt. Der persische Wissenschaftler Jamshid Masud Al-Kashi kalkulierte 1424 bereits 16 Stellen genau.
Der englische Mathematiker John Wallis entwickelte 1665 das nach ihm benannte Wallissche Produkt:
Handwerker benutzten in Zeiten vor Rechenschieber und Taschenrechner die Näherung 22/7 = 3,142857... und berechneten damit vieles im Kopf. Der Fehler gegenüber π beträgt etwa 0,04%. Für alltägliche praktische Situationen war das völlig ausreichend. Eine andere oft genutzte Näherung war der Bruch 355/113 =3,1415929..., immerhin auf sieben Stellen genau.
Keine der bislang entwickelten Formeln konnte zur effizienten Berechnung von Näherungswerten an π dienen, auch die Formel des Inders Srinivasa Ramanujan aus dem Jahr 1914 war dazu noch nicht geeignet:
- .
Moderne Näherungsrechnung und Bestimmung
David H. Bailey
1996 entdeckte David H. Bailey, zusammen mit Peter Borwein und Simon Plouffe, eine neue Formel für π:
Diese Berechnung nutzt den Zusammenhang aus, dass in der Flächenformel des Kreises π enthalten ist und in Bezug zum Quadrat gesetzt werden kann.
Die Formel für den Flächeninhalt des Kreises : π · r²
Die Formel für den Flächeninhalt des Quadrates : (2r)²
Daraus ergibt sich, dass das Verhältnis der Flächeninhalte von Kreis und Quadrat gerade
π/4 ergibt, π selbst lässt sich also als das Vierfache dieses Verhältnisses schreiben.
Programm
Als Beispiel ist ein Algorithmus angegeben, in dem die Flächenformel zur näherungsweisen Berechnung von π demonstriert wird.
Man legt dazu über das Quadrat ein Gitter und berechnet für jeden einzelnen Gitterpunkt, ob er auch im Kreis liegt. Das Verhältnis der Gitterpunkte innerhalb des Kreises zu den Gitterpunkten innerhalb des Quadrats wird mit 4 multipliziert. Die Genauigkeit der damit gewonnenen Näherung von π hängt von der Gitterweite ab und wird mittels r kontrolliert. Mit r = 10 erhält man z. B. 3,17 und mit r = 100 bereits 3,1417.
Berechnung mittels Flächenformel
r = 1000
kreistreffer = 0
quadrattreffer = (2*r)^2
for y = -r to r
for x = -r to r
if wurzel(x^2+y^2) <= r then kreistreffer = kreistreffer + 1
ausgabe (4*kreistreffer/quadrattreffer) { 3.141549 }Statistische Bestimmung
Eine sehr interessante Methode zur Bestimmung von π ist die statistische Methode. Für die Berechnung lässt man zufällige Punkte auf ein Quadrat "regnen" und berechnet, ob sie innerhalb oder außerhalb eines eingeschriebenen Kreises liegen. Das Verhältnis von innen- zu außenliegenden Punkten ist gleich π.
Die Berechnung mittels Flächenformel ist ein Monte-Carlo-Algorithmus. Sie verwendet Wahrscheinlichkeiten und ist deshalb nur eine Näherung von π. Sie ist deshalb nie vollständig korrekt, sondern nur mit einer gewissen Irrtumswahrscheinlichkeit. Durch das Gesetz der großen Zahl steigt jedoch die Genauigkeit mit der Anzahl der vermessenen Punkte.
Der folgende Algorithmus ist in der Programmiersprache Java geschrieben:
public static double berechne_pi (int tropfenzahl) {
double pi = 0;
int innerhalb = 0;
int gesamt = tropfenzahl;
while (tropfenzahl > 0) { //generiere Tropfen und addiere je nach Zugehoerigkeit
double dotx = 2 * Math.random() - 1;
double doty = 2 * Math.random() - 1;
if (Math.sqrt(dotx*dotx + doty*doty) <= 1 ) {
//System.out.println("Punkt (" + dotx + "|" + doty + ") liegt innen.");
innerhalb++;
} else {
//System.out.println("Punkt (" + dotx + "|" + doty + ") liegt außen.");
}
tropfenzahl--;
}
pi = 4*(double)innerhalb/gesamt;
return pi;
}
Formeln, Anwendungen, offene Fragen
Formeln, die π enthalten
Obwohl das Problem der Quadratur des Kreises ein geometrisches ist, spielt π auch in anderen Bereichen der Mathematik und Physik eine wichtige Rolle.
In der Geometrie treten die Eigenschaften von π als Kreiszahl unmittelbar hervor.
, 1768-1830]]
π spielt daneben in vielen mathematischen Zusammenhängen eine Rolle, zum Beispiel bei
Formeln der Geometrie
Formeln der Analysis
Die Eulersche Identität als Kombination von π mit der ebenfalls irrationalen Eulerschen Zahl e und der Imaginäre Einheit i wird als eine der schönsten mathematischen Formeln angesehen.
In der Physik spielt π neben
Formeln der Physik
vor allem bei Wellenn eine Rolle, da dort π über die Sinus- und Kosinusfunktion eingeht. Somit also zum Beispiel
- in der Quantenmechanik: (Heisenbergsche Unschärferelation).
Anwendungen, Nutzen heutiger Berechnungen
Die Näherungswerte und -verfahren zur Kreiszahl waren lange Zeit insbesondere für die angewandten Wissenschaften wie etwa im Ingenieurbau sehr wertvoll; die neueren Näherungswerte hingegen haben bereits so viele Stellen, dass ein praktischer Nutzen kaum noch gegeben ist. Es genügen beipielsweise zur Berechnung des Kreisumfangs auf einen Millimeter Genauigkeit- bei einem Radius von 30 Metern vier Dezimalstellen von π
- bei dem Erdradius zehn Dezimalstellen;
- bei einen Radius mit dem Abstand Erde-Sonne 15 Dezimalstellen;
Bereits mit 100 Dezimalstellen sind auf einen Millimeter genaue Berechnungen für Kreisumfänge möglich, deren Radius die menschliche Vorstellungskraft nahezu sprengt – der derzeitige Näherungsrekord liegt bei 1,241 Billionen Stellen.
Einziger heute erkennbarer praktischer Nutzen dieser aufwändigen Rechnungen liegt in der Möglichkeit, die Computer-Hardware zu testen, da bereits kleine Rechenfehler zu vielen falschen Stellen von π führen würden. Der mathematischen Theorie verhelfen die Berechnungen auf dem Gebiet der Zufallsstatistik zu neuen Erkenntnissen, wie im folgenden Abschnitt beschrieben wird.
Pi spielt in verschiedenen Zweigen der Mathematik eine wichtige Rolle - nicht nur innerhalb der Geometrie, sondern auch in der Algebra, Analysis, Trigonometrische Funktion und Zahlentheorie.
Offene Fragen
Die zur Zeit drängendste mathematische Frage bezüglich π ist, ob sie eine normale Zahl ist, d.h. ob sie zum Beispiel in einer binären (oder jeder anderen n-ären) Zahlendarstellung jede mögliche Binär- bzw. sonstige Zifferngruppe gleichermaßen enthält - so wie dies die Statistik erwarten ließe, wenn man eine Zahl vollkommen nach dem Zufall erzeugen würde. (Beispielsweise findet sich die dem Wort "wiki" entsprechende Bitfolge 10111010010101101001 ab der 889.356.628. Stelle der Binärdarstellung von π.)
In letzter Konsequenz würde dies beispielsweise bedeuten, dass die Kreiszahl alle bisher und zukünftig geschriebenen Bücher irgendwo in codierter Binär-Form enthalten muss.
Bailey und Crandal zeigten im Jahr 2000, dass die Existenz der oben angegebenen Bailey-Borwein-Plouffe-Formel und ähnlicher Ableitungen belegt, dass die Normalität von π zur Basis 2 (wie auch die von verschiedenen anderen Konstanten) auf eine bestehende Vermutung der Chaostheorie reduziert werden kann. Für weitere Details dazu siehe die Webseite von Bailey.
Viele Stellen hinter dem Komma verbirgt diese englische Eloge:
Anhang für Liebhaber der Zahl π
Rekorde, Film und Kuriositäten
Merkregeln
Immer wieder haben lange Zahlenfolgen zu einfachen Merksätzen geführt, bei denen die Anzahl der Buchstaben jeden Wortes jeweils eine Stelle der Zahl anzeigt:
Der im Deutschen sicherlich bekannteste Merksatz ist folgender:
Ausführlich bis auf 31 Stellen:
Lernt immerhin, Jünglinge, leichte Verselein, wie so zum Beispiel dies dürfte zu merken sein!
Kürzer ist: Gib O Gott, O Vater Fähigkeit zu lernen!
Oder: Ist's doch, o Isaak, schwierig zu wissen wofür sie steht!
Der folgende französische Merkspruch ehrt ebenfalls den Archimedes, lässt dann allerdings an Klarheit zu wünschen:
Immortal Syracusan, rivaled nevermore, who in his wondrous lore, passed on before, left men his guidance, how to circles mensurate.
Dann lieber gleich plancker Nonsens?
Qui de ton jugement peut priser la valeur? Pour moi ton problème eut de pareils avantages.Auf der Jagd nach π – Tabelle
| Mathematiker | Jahr | Dezimalstellen |
| Ägypten, Rechenbuch des Ahmes (Papyrus Rhind) | 17. Jahrhundert v. Chr. | 1 |
| Archimedes | ca. 250 v. Chr. | 3 |
| Zu Chongzhi | ca. 480 | 7 |
| Jamshid Masud Al-Kashi | ca. 1424 | 16 |
| Ludolph van Ceulen | 1596 | 35 |
| Jurij Vega | 1794 | 136 |
| William Shanks | 1874 | 527 |
| Levi B. Smith, John W. Wrench | 1949 | 1.120 |
| Daniel Shanks, John W. Wrench | 1961 | 100.265 |
| Yasumasa Kanada, Sayaka Yoshino, Yoshiaki Tamura | 1982 | 16.777.206 |
| Yasumasa Kanada, Yoshiaki Tamura, Yoshinobu Kubo | 1987 | 134.217.700 |
| Chudnovskys | 1989 | 1.011.196.691 |
| Yasumasa Kanada, Daisuke Takahashi | 1997 | 51.539.600.000 |
| Yasumasa Kanada, Daisuke Takahashi | 1999 | 206.158.430.000 |
| Yasumasa Kanada | 2002 | 1.241.100.000.000 |
Siehe auch: Liste der Mathematiker
Quellen und Literatur
Weblinks
Beurteilung:
Exzellenter Artikel