Äquivalenzrelation
Dieser Artikel enthält mathematische Symbole. Diese werden in der Tabelle mit mathematischen Symbolen erläutert.In der Mathematik ist eine Äquivalenzrelation eine Beziehung (Relation) zwischen Elementen einer Menge, die bestimmte Eigenschaften der "Gleichheit" verallgemeinert. Das bekannteste Beispiel bilden die rationalen Zahlen: Zwei Brüche a/b und c/d sind äquivalent (repräsentieren dieselbe rationale Zahl), wenn die Gleichung ad = bc gilt.
Table of contents |
2 Eigenschaften 3 Beispiele |
Eine Äquivalenzrelation ist eine Relation auf einer nichtleeren Menge M, welche folgende Bedingungen erfüllt:
Für ein Äquivalenzrelation schreibt man üblicherweise statt
a ist der Repräsentant der Äquivalenzklasse [a]. Die Menge der Äquivalenzklassen ist
Durch eine Äquivalenzrelation wird eine Menge in Äquivalenzklassen zerlegt.
Siehe auch Äquivalenz und Partition.
(bitte erweitern)
Definition
(Es gilt dann .) oder . Die drei Eigenschaften lassen sich dann so aufschreiben:
Ferner definiert man für eine Äquivalenzrelation für jedes Element a von M die so genannte Äquivalenzklasse von a in M:
lies: die Äquivalenzklasse von a ist definiert als die Menge aller b aus M für die gilt, a ist äquivalent zu bEigenschaften
Erläuterung
Beispiele
Die zugehörigen Äquivalenzklassen sind: