WEB LEXIKON: Ein Blick zurück
Hauptseite | Aktueller Wikipedia-Artikel

Komplexe Zahl



Komplexe Zahlen erweitern den Körper der reellen Zahlen derart, dass sämtliche (nicht konstanten) algebraischen Gleichungen auflösbar werden, z. B. nicht nur:

(Lösungen x1,2 = ±1),
sondern auch
(keine reellen Lösungen).

Komplexe Zahlen werden meist in der Form
a + bi
dargestellt, wobei a und b reelle Zahlen und i die imaginäre Einheit ist. Für die Menge der komplexen Zahlen wird das Symbol verwendet.

Komplexe Zahlen wurden zuerst benötigt, als man bei der Lösung kubischer Gleichungen mit Hilfe der Cardanische Formeln auf das Problem stieß, eine Quadratwurzel aus einer negativen Zahl zu ziehen, obwohl jede kubische Gleichung mindestens eine reelle Lösung hat ( Casus irreducibilis).

Table of contents
1 Definition
2 Schreibweise a+bi
3 Rechenbeispiele
4 Komplexe Ebene
5 Polardarstellung, Betrag und Argument
6 Naturphilosophische Aspekte der komplexen Zahlen
7 Komplexe Zahlen in der angewandten Mathematik
8 Verwandte Themen
9 Weblinks

Definition

Die folgende Definition nimmt zunächst keinen Bezug auf die imaginäre Einheit i, sondern erfolgt in der Paarschreibweise:

Eine komplexe Zahl ist ein Paar zweier reeller Zahlen und .
Für die Addition gilt (d.h. komponentenweise).
Für die Multiplikation gilt .

Die Menge der Paare reeller Zahlen mit den so definierten Verknüpfungen bildet einen Körper .

Die erste Komponente des Paares , also , nennt man den Realteil der komplexen Zahl , den zweiten, also , den Imaginärteil.

Die Zahl hat die Eigenschaft, dass

ist. Somit ist eine Lösung der obigen quadratischen Gleichung . Eine zweite Lösung ist .

Schreibweise a+bi

Komplexe Zahlen mit Imaginärteil verhalten sich wie reelle Zahlen:

Man kann sie also mit ihrem Realteil identifizieren, d.h. jede reelle Zahl ist eine komplexe Zahl mit Imaginärteil Null:
Zum Beispiel ist oder .

Die komplexe Zahl nennt man die imaginäre Einheit, kurz (oder auch in der Elektrotechnik).

Mit diesen Gleichsetzungen kann jede komplexe Zahl in Realteil und Imaginärteil zerlegt werden:

.

Damit kann von der Paarschreibweise zu einer "gewohnten" Schreibweise übergegangen werden, wobei man neben den reellen Zahlen , jetzt aber zusätzlich die (nicht reelle) Zahl benutzt, die die Eigenschaft besitzt, und die daher auch als "
Wurzel aus -1" aufgefasst wird.

Die Definitionen von Addition und Multiplikation lassen sich nun als übliche Klammerrechnung interpretieren:

Man addiert die beiden Realteile und die beiden Imaginärteile separat:

Man subtrahiert die beiden Realteile und die beiden Imaginärteile separat:

Der Realteil des Produkts besteht aus dem Produkt der Realteile minus dem Produkt der Imaginärteile, der Imaginärteil des Produkts ist die Summe der beiden gemischten Produkte "Realteil mal Imaginärteil":

Der Quotient zweier komplexer Zahlen lässt sich berechnen, indem man mit dem komplex konjugierten des Nenners erweitert. Der Nenner wird dadurch reell.

Komplexe Zahlen sind im Gegensatz zu reellen Zahlen nicht mehr geordnet, d.h. man kann keine Relation < (kleiner) oder > (größer) zwischen ihnen aufstellen.

Rechenbeispiele

Addition:

Subtraktion:
Multiplikation:

Komplexe Ebene

Zahlengerade mit √2, e und π

Während sich die Menge der reellen Zahlen an einer Zahlengeraden veranschaulichen lässt, kann man die Menge der komplexen Zahlen als Ebene (komplexe Ebene, Gauß'sche Ebene) interpretieren. Die Menge der reellen Zahlen bildet darin die waagerechte Achse, die Menge der rein imaginären Zahlen (d.h. mit Realteil 0) bildet die senkrechte Achse. Eine komplexe Zahl wird als Punkt mit den Koordinaten und dargestellt.

Da die Addition komplexer Zahlen komponentenweise erfolgt, kann sie geometrisch als Pfeiladdition (Vektoraddition) interpretiert werden.

Polardarstellung, Betrag und Argument

Gaußsche Ebene mit einer komplexen Zahl
in kartesischen und in Polarkoordinaten

Anstatt durch seine Koordinaten a und b kann ein Punkt in der Ebene auch durch den Abstand vom Ursprung und den Winkel zwischen der waagerechten Achse und der Verbindung zum Ursprung beschrieben werden (Polarkoordinaten).

Es gilt dann

,
,

sowie

,
.

Man nennt den
Betrag und das Argument der Zahl .

Man kann das Argument von durch die folgende Formel berechnen:

Dabei muss man beachten, dass dies nur für a ≠ 0 gilt, und der Tangens denselben Wert zweimal im Intervall [0°, 360°) annimmt. Man muss also noch durch die Betrachtung der Vorzeichen von a und b den richtigen Winkel bestimmen.

Es gilt die Darstellung

.

Hier ist eine komplexe Zahl vom Betrag und vom Argument . Diese Zahl kann auch als

interpretiert werden, sobald man Potenzen mit komplexen Exponenten eingeführt hat, was durch Potenzreihenentwicklung geschieht. Eine Konsequenz hiervon ist die Eulersche Identität:

Dies ermöglicht auch eine geometrische Interpretation der Multiplikation. Mit


wird

.

Das bedeutet: Bei der Multiplikation komplexer Zahlen werden ihre Beträge multipliziert und ihre Argumente (Winkel) addiert.

Eine komplexe Zahl
mit ihrer komplex konjugierten.

Ersetzt man den Imaginärteil einer komplexen Zahl durch sein negatives , erhält man die zu konjugiert komplexe Zahl . In Polarkoordinaten hat den negativen Winkel von .

Naturphilosophische Aspekte der komplexen Zahlen

Komplexe Zahlen spielen in der Grundlagenphysik eine zentrale Rolle. So passt insbesondere die mathematische Struktur der Quantentheorie exakt zur Struktur der komplexen Zahlenmathematik, die dort nicht weg zu denken ist. Sie findet dort Verwendung bei der Definition von Differentialoperatoren in der Schrödinger-Gleichung und der Klein-Gordon-Gleichung. Für die Dirac-Gleichung benötigt man eine Zahlbereichserweiterung der komplexen Zahlen, die Quaternionen. Alternativ ist eine Formulierung mit Pauli-Matrizen möglich, die aber die gleiche algebraische Struktur wie die Quaternionen aufweisen.

In der Relativitätstheorie werden Raum und Zeit zur einer vierdimensionalen Raum-Zeit verknüpft. Substituiert man dazu die Zeit t mittels x4 = ict durch eine 4. Raumkoordinate x4, so ergibt sich eine Form der Naturgesetze, in denen diese vier Koordinaten strukturell völlig gleichberechtigt auftreten. So erhält man insbesondere für die Metrik M dieser Raum-Zeit

M = x12 + x22 + x32 + x42,

die die gleiche fundamentale Rolle für die Raum-Zeit spielt wie der räumliche Abstand für den gewöhnlichen Raum. Diese Substitution wird von einigen Autoren in Lehrbüchern verwendet, die die spezielle Relativitätstheorie behandeln oder Abschnitte hierüber beinhalten. Der Ausdruck x = (x,y,z,ict) wird auch als Vierervektor bezeichnet. In der Praxis hat sich allerdings eine Formulierung mit reellen Vierervektoren durchgesetzt, eingebettet in einen Formalismus, der direkt zur allgemeinen Relativitätstheorie führt. Dabei werden je nach Definition der zugrundeliegenden Metrik verschiedene Formen verwendet, z.B. x = (ct,x,y,z) oder y = (x,y,z,ct). Man vermutet jedoch die Existenz zusätzlicher verborgener Dimensionen der Raum-Zeit, über deren Anzahl und Struktur noch spekuliert wird, so dass der Stellenwert der Substitution x4 = ict letztlich noch offen ist. Es gilt jedoch als unwahrscheinlich, dass die noch zu entdeckenden Theorie der Quantengravitation, die die beiden Säulen des derzeitigen physikalischen Theoriengebäudes, nämlich die Quanten- und die Relativitätstheorie, vereinigen würde, ohne komplexe Zahlen auskommen würde.

Darüber hinaus ist die Mathematik der komplexen Zahlen derjenigen der reellen Zahlen hinsichtlich Eleganz und Abgeschlossenheit deutlich überlegen. So ist, um nur ein Beispiel zu nennen, jede differenzierbare komplexe Funktion automatisch unendlich oft differenzierbar, anders als in der Mathematik der reellen Zahlen.

Es hat sich gezeigt, dass komplexe Zahlen tiefer in der Natur und auch in der Mathematik verankert sind, als man zur Zeit ihrer Entdeckung ahnen konnte. Die grundlegende Frage scheint fast weniger zu sein, warum die Quantentheorie so gut zu den komplexen Zahlen passt, sondern warum wir bei der physikalischen Beschreibung unserer Alltagswelt eigentlich so gut mit den reellen Zahlen auskommen.

Komplexe Zahlen in der angewandten Mathematik

Komplexe Zahlen haben in der Physik und Technik eine wichtige Rolle als Rechenhilfe. So lässt sich insbesondere die Behandlung von Differentialgleichungen zu Schwingungsvorgängen vereinfachen, da sich damit die komplizierten Beziehungen in Zusammenhang mit Produkten von Sinus- bzw. Kosinusfunktionen durch Produkte von Exponentialfunktionen ersetzen lassen, wobei lediglich die Exponenten addiert werden müssen. So fügt man dazu beispielsweise in der komplexen Wechselstromrechnung willkürliche aber passende Imaginärteile in die reellen Ausgangsgleichungen ein, die man bei der Auswertung der Rechergebnisse dann wieder ignoriert. Es handelt sich dabei lediglich um einen Rechentrick ohne philosophischen Hintergrund.

In der Fluiddynamik werden komplexe Zahlen eingesetzt, um ebene Potenzialströmungen zu erklären und zu verstehen. Jede beliebige komplexe Funktion eines komplexen Arguments stellt immer eine ebene Potenzialströmung dar - der geometrische Ort entspricht dem komplexen Argument in der Gauß'schen Zahlenebene, das Strömungspotenzial dem Realteil der Funktion, und die Stromlinien den Isolinien des Imaginärteils der Funktion mit umgekehrtem Vorzeichen. Das Vektorfeld der Strömungsgeschwindigkeit entspricht der konjugiert komplexen ersten Ableitung der Funktion. Durchs Experimentieren mit verschiedenen Überlagerungen von Parallelströmung, Quellen, Senken, Dipolen und Wirbeln kann man die Umströmung unterschiedlicher Konturen darstellen. Verzerren lassen sich diese Strömungsbilder durch konforme Abbildung - das komplexe Argument wird durch eine Funktion des komplexen Arguments ersetzt. Beispielsweise lässt sich die Umströmung eines Kreiszylinders (Parallelströmung + Dipol + Wirbel) in die Umströmung eines tragflügel-ähnlichen Profils (Jukowski-Profil) verzerren und die Rolle des tragenden Wirbels an einer Flugzeug-Tragfläche studieren. So nützlich diese Methode zum Lernen und Verstehen ist, zur genauen Berechnung reicht sie im allgemeinen nicht aus.

Wichtig ist auch die Anwendung komplexer Zahlen bei der Berechnung uneigentlicher reeller Integralee im Rahmen des Residuensatzes der Funktionentheorie.

Verwandte Themen

Weblinks




     
Das Web Lexikon "Ein Blick zurück" bietet die Moeglichkeit auf einfache Art und Weise in den "alten" Wikipedia-Beiträgen zu blättern. Das Lexikon spiegelt den Stand der freien Wikipedia-Enzyklopädie vom August 2004 wider. Sie finden hier in rund 120.000 Artikel aus dieser Zeit Informationen, Erklärungen, Definitionen, Empfehlungen, Beschreibungen, Auskünfte und Bilder. Ebenso kommen Begriffserklärung, Zusammenfassung, Theorie, Information, Beschreibung, Erklärung, Definition und Geschichte nicht zu kurz. Ein Lexikon das Auskunft, Bericht, Hinweis, Bedeutung, Bild, Aufklärung, Darstellung und Schilderung zu unterschiedlichsten Themen kompakt auf einer Seite bietet.
Impressum ^ nach oben ^