Binärsystem
Das Binärsystem ist das bekannteste und verbreitetste duale Zahlensystem (Stellenwertsystem) zur Darstellung von Zahlen. Es verwendet die Basis 2, ist also die dyadische (2-adische) Darstellung von Zahlen. In diesem Zahlensystem gibt es nur zwei Ziffern, die im Binärsystem mit 0 und 1, in anderen dualen Systemen mit anderen Zeichen (zum Beispiel mit L und H) gekennzeichnet werden. Zahlen, die im Binärsystem dargestellt sind, nennt man Binärzahlen.
und nicht wie im Dezimalsystem durch:
Die Klammerung der Resultate mit der tiefgestellten 10 soll darauf hinweisen, dass die Resultate im gebräuchlichen Dezimalsystem dargestellt sind.
Eine ausführliche und verallgemeinerte Erläuterung findet sich im Artikel Stellenwertsystem.
Die Möglichkeit, Zahlen in binärer Form darzustellen, wurde wohl zuerst von Leibniz dokumentiert.
Leibniz selbst schrieb zu seiner Entdeckung:
Das Binärsystem ist besonders wichtig in der Digitaltechnik, da die Ziffern der Binärzahlen leicht durch komplementäre Zustände wie Strom an/Strom aus oder Spannung/Masse symbolisiert werden können.
Auf diese Weise sind sehr fehlerresistente Schaltungen möglich.
Beispielsweise lässt sich in einer Schaltung Masse als 0 und 5V gegen Masse als 1 annehmen.
Sinkt nun die Spannung im Schaltkreis auf 4.5V ab, so kann dies immer noch zuverlässig als 1 gedeutet werden.
Wären hingegen z.B. alle zehn Ziffern des Dezimalsystems als Spannungswerte codiert, so wäre dies bereits eine falsche Ziffer.
Ganz analog zu den Zahlen im Dezimalsystem lassen sich mit Binärzahlen die gängigen arithmetischen Grundoperation Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division durchführen.
Tatsächlich werden die benötigten Algorithmen sogar einfacher und lassen sich effizient mit logischen Schaltungen elektronisch realisieren. Die Einführung von Binärzahlen in die Rechentechnik brachte daher eine ganze Reihe Vorteile.
Definition
Mathematische Darstellung des Binärsystems:Darstellung von Binärzahlen
Die Darstellung der Zahlen erfolgt ähnlich wie die Darstellung im gewöhnlich verwendeten Dezimalsystem, mit dem Unterschied, dass die Wertigkeit der Ziffern nicht durch die entsprechende Zehnerpotenz, sondern durch die passende Zweierpotenz bestimmt wird.
Beispielsweise stellt die Folge 1101 nicht (wie im Dezimalsystem) die Tausendeinhundertundeins dar, sondern die Dreizehn, denn im Binärsystem berechnet sich der Wert durch:Anwendung
Leibniz war auch der Erste, der Rechenmaschinen auf Basis des Binärsystems baute.
Omnibus ex nihilo ducendis sufficit unum.Grundrechenarten im Binärsystem
|
| ||||||||
|
|
Binärsystem | 0 | 1 | 10 | 11 | 100 | 101 | 110 | 111 | 1000 | 1001 | 1010 | 1011 | 1100 | 1101 | 1110 | 1111 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Oktalsystem | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 |
Dezimalsystem | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
Hexadezimalsystem | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | A | B | C | D | E | F |
Um aus einer Binärzahl eine Dezimalzahl zu ermitteln, werden die Zweierpotenzen addiert, bei denen in der Binärzahl die Ziffer 1 steht.
Beispiel: 1010(2)
Es wird von rechts nach links gerechnet:
Die Produkte mit einer Binärziffer 0 hätten nicht errechnet werden müssen, können aber zur besseren Übersicht notiert werden.
Es gibt mehrere Möglichkeiten der Umrechnung ins Binärsystem. Im Folgenden ist die Divisionsmethode am Beispiel 41(10) beschrieben:
Wegen der Bedeutung des Dualsystems in der Digitaltechnik ist es auch wichtig, negative Zahlen damit darstellen zu können. Für die Darstellung negativer ganzer Zahlen im Dualsystem existieren die Verfahren des Vorzeichenbits und des Zweierkomplements.
vom Binärsystem ins Dezimalsystem
0 · 20 = 0
Die Summe der Produkte ergibt 10(10).
1 · 21 = 2
0 · 22 = 0
1 · 23 = 8vom Dezimalsystem ins Binärsystem
41 : 2 = 20 Rest 1
Die entsprechende Binärzahl erhält man, indem man die errechneten Reste von unten nach oben liest: 101001(2).
20 : 2 = 10 Rest 0
10 : 2 = 5 Rest 0
5 : 2 = 2 Rest 1
2 : 2 = 1 Rest 0
1 : 2 = 0 Rest 1Darstellung negativer Zahlen
Weblinks
siehe auch: Zahlensystem, Stellenwertsystem,
Oktalsystem, Dezimalsystem, Hexadezimalsystem