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Mengenlehre



Dieser Artikel enthlt mathematische Symbole. Diese werden in der Tabelle mit mathematischen Symbolen erlutert.

Die Mengenlehre ist ein Teilgebiet der Mathematik, welches sich mit den Eigenschaften von Mengen beschäftigt. Sie ist die Grundlage der modernen Mathematik und bietet ein einheitliches Grundgerüst für zahlreiche Disziplinen wie Algebra, Analysis, Stochastik oder Topologie. Darüberhinaus ist sie von zentraler Bedeutung für die Aussagenlogik.

Table of contents
1 Geschichte
2 Neue Mathematik
3 Definitionen
4 Gesetzmäßigkeiten
5 Weblink

Geschichte

Die Mengenlehre geht zurück auf Georg Cantor. Nach seiner Definition ist eine Menge "eine Zusammenfassung von bestimmten wohl unterschiedenen Objekten der Anschauung oder des Denkens, welche die Elemente der Menge genannt werden, zu einem Ganzen". Die von Cantor eingeführte naive Mengenlehre führte jedoch schon bald zu unlösbaren Widersprüchen (Russellsche Antinomie).

Die axiomatische Mengenlehre (Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre) verzichtet deshalb auf eine Definition der Menge und benutzt ihn als Grundbegriff. Eine Menge wird durch die Angabe aller Elemente bzw. ihrer Grundeigenschaften festgelegt. Die einzige Grundrelation ist (gesprochen Element von), z.B. x M, wenn x als Element in M enthalten ist. In vielen Artikeln dieser Enzyklopädie verwenden wir die Schreibweise "x in M" oder "x aus M", manchmal auch das HTML-Zeichen ∈, welches jedoch von manchen Browsern nicht korrekt dargestellt wird.

Eine alternative Mengentheorie kann man aufbauend auf der Kategorientheorie mit Hilfe von Topoi definieren.

Neue Mathematik

In den 1970er Jahren wurde die Mengenlehre in die Grundschulen eingeführt, nach wenigen Jahren aber zugunsten des traditionellen Rechenunterrichts wieder abgeschafft. Siehe dazu den Artikel "Neue Mathematik".

Definitionen

Seien beliebige Teilmengen der Menge .

Gesetzmäßigkeiten

Die Mengen-Operationen Schnitt und Vereinigung sind zueinander kommutativ, assoziativ als auch distributiv.

Für die symmetrische Differenz gelten folgende Gesetzmäßigkeiten:

Die Algebra der Mengen ist eine so genannte Boolesche Algebra.

Siehe auch: Universum (Mathematik)

Weblink




     
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