Mengenlehre
Dieser Artikel enthält mathematische Symbole. Diese werden in der Tabelle mit mathematischen Symbolen erläutert.Die Mengenlehre ist ein Teilgebiet der Mathematik, welches sich mit den Eigenschaften von Mengen beschäftigt. Sie ist die Grundlage der modernen Mathematik und bietet ein einheitliches Grundgerüst für zahlreiche Disziplinen wie Algebra, Analysis, Stochastik oder Topologie. Darüberhinaus ist sie von zentraler Bedeutung für die Aussagenlogik.
Table of contents |
2 Neue Mathematik 3 Definitionen 4 Gesetzmäßigkeiten 5 Weblink |
Die Mengenlehre geht zurück auf Georg Cantor. Nach seiner Definition ist eine Menge "eine Zusammenfassung von bestimmten wohl unterschiedenen Objekten der Anschauung oder des Denkens, welche die Elemente der Menge genannt werden, zu einem Ganzen". Die von Cantor eingeführte naive Mengenlehre führte jedoch schon bald zu unlösbaren Widersprüchen (Russellsche Antinomie).
Die axiomatische Mengenlehre (Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre) verzichtet deshalb auf eine Definition der Menge und benutzt ihn als Grundbegriff. Eine Menge wird durch die Angabe aller Elemente bzw. ihrer Grundeigenschaften festgelegt. Die einzige Grundrelation ist (gesprochen Element von), z.B. x M, wenn x als Element in M enthalten ist. In vielen Artikeln dieser Enzyklopädie verwenden wir die Schreibweise "x in M" oder "x aus M", manchmal auch das HTML-Zeichen ∈, welches jedoch von manchen Browsern nicht korrekt dargestellt wird.
Eine alternative Mengentheorie kann man aufbauend auf der Kategorientheorie mit Hilfe von Topoi definieren.
In den 1970er Jahren wurde die Mengenlehre in die Grundschulen eingeführt, nach wenigen Jahren aber zugunsten des traditionellen Rechenunterrichts wieder abgeschafft. Siehe dazu den Artikel "Neue Mathematik".
Seien beliebige Teilmengen der Menge .
Die Mengen-Operationen Schnitt und Vereinigung sind zueinander kommutativ, assoziativ als auch distributiv.
Die Algebra der Mengen ist eine so genannte Boolesche Algebra.
Siehe auch: Universum (Mathematik)
Geschichte
Neue Mathematik
Definitionen
Um Missverständnisse, die durch gelegentliche unterschiedliche Definitionen des Begriffs Teilmenge entstehen, sicher auszuschließen, ist auch die Schreibweise gebräuchlich.
Wird auch als , oder geschrieben.Gesetzmäßigkeiten
Weblink