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Geordnete Geometrie



Die Geordnete Geometrie ist eine Geometrie mit recht wenigen Axiomen.

Die Affine Geometrie, die Projektive Geometrie, die Absolute Geometrie sowie die Euklidische und die Nichteuklidische Geometrie sind alle Spezialfälle der Geordneten Geometrie.

Die Geordnete Geometrie beschränkt sich auf

Das entspricht den ersten beiden Axiomen der Euklidischen Geometrie. Daraus entstehen Begriffe wie Auch Winkel und Parallele lassen sich definieren.

Die Geordnete Geometrie wird durch die folgenden Axiome exakt definiert:

1. Axiom: Es gibt mindestens zwei Punkte.
2. Axiom: Wenn A und B unterschiedliche Punkte sind, dann gibt es wenigstens einen Punkt C, so dass [ABC].
3. Axiom: Wenn [ABC] dann A ungleich C.
4. Axiom: Wenn [ABC] dann [CBA], aber nicht [BCA].
5. Axiom: Wenn C und D unterschiedliche Punkte auf der Geraden AB sind, dann ist A auf der Geraden CD.

Bislang konnten theoretisch alle Punkte der Geometrie auf einer Geraden liegen. Um diese 'langweilige' Geometrie auszuschließen, fordert man
6. Axiom: Wenn die Gerade AB existiert, dann gibt es einen Punkt C außerhalb der Geraden AB.

Das folgende 7. Axiom stellt auf eine sehr 'verborgene' Weise sicher, dass es zwischen zwei beliebigen Punkten immer noch (mindestens) einen weiteren Punkt gibt. Die direkte axiomatische Forderung nach 'Zwischenpunkten' führt zu axiomatischen Problemen, die hier nicht diskutiert werden können.
7. Axiom: Wenn ABC ein Dreieck ist, und [BCD] und [CEA] gilt, dann existiert auf der Geraden DE ein Punkt F, für den [AFB] gilt.

Weiterhin muss sichergestellt sein, dass die Geraden 'kontinuierlich' sind, d.h. dass keine Lücken auftreten. Eine tiefere Diskussion dieses Konzeptes findet sich in der Analysis, die den analoge Unterschied zwischen rationalen Zahlen und reellen Zahlen beleuchtet.
8. Axiom: (Informal) Die Punkte auf einer Geraden liegen dicht (im Sinne des Grenzwertsatzes).

Bislang wurde noch gar nicht über die Dimension des von der Geometrie beschriebenen Raumes gesprochen. Sie wird ebenfalls axiomatisch festgelegt:
2 Dimensionen:
9. Axiom: Alle Punkte liegen in einer Ebene.
oder 3 Dimensionen:
9. Axiom: Wenn ABC ein Dreieck bilden, dann gibt es einen Punkt D außerhalb der durch das Dreieck aufgespannten Ebene.
10. Axiom: Alle Punkte liegen im 3-dimensinalen Raum.
oder 4 Dimensionen:
10. Axiom: Wenn ABCD einen 3-Dimensionalen Tetraeder bilden, dann gibt es einen Punkt E außerhalb des durch den Tetraeder aufgespannten Raumes.
11. Axiom: Alle Punkte liegen im 4-dimensinalen Raum.
oder mehr Dimensionen
Dieses Schema kann bis zu beliebigen Dimensionen fortgeführt werden.

Literatur




     
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