Geordnete Geometrie
Die Geordnete Geometrie ist eine Geometrie mit recht wenigen Axiomen.Die Affine Geometrie, die Projektive Geometrie, die Absolute Geometrie sowie die Euklidische und die Nichteuklidische Geometrie sind alle Spezialfälle der Geordneten Geometrie.
Die Geordnete Geometrie beschränkt sich auf
- das Konzept eines Punktes (z.B. A, B, C, ...) und
- das Konzept des Dazwischen (z.B. B ist zwischen A und C, geschrieben als [ABC]).
- Man kann eine gerade Strecke von einem Punkt zu einem anderen Punkt ziehen.
- Man kann eine Strecke kontinuierlich zu einem Strahl verlängern.
- Man kann eine Strecke kontinuierlich zu einem Strahl verlängern.
- das Segment AB (die Menge aller Punkte P, für die [APB] gilt),
- die Strecke AB (das Segment AB einschließlich A und B),
- der Strahl AB (die Menge aller Punkte P, für die [PAB] gilt),
- die Gerade AB (die Vereinigung des Strahls AB, der Strecke AB und des Strahls BA) und
- das Dreieck ABC (Wenn A, B und C nicht alle auf einer Geraden liegen).
Die Geordnete Geometrie wird durch die folgenden Axiome exakt definiert:
- 1. Axiom: Es gibt mindestens zwei Punkte.
- 2. Axiom: Wenn A und B unterschiedliche Punkte sind, dann gibt es wenigstens einen Punkt C, so dass [ABC].
- 3. Axiom: Wenn [ABC] dann A ungleich C.
- 4. Axiom: Wenn [ABC] dann [CBA], aber nicht [BCA].
- 5. Axiom: Wenn C und D unterschiedliche Punkte auf der Geraden AB sind, dann ist A auf der Geraden CD.
- 6. Axiom: Wenn die Gerade AB existiert, dann gibt es einen Punkt C außerhalb der Geraden AB.
- 7. Axiom: Wenn ABC ein Dreieck ist, und [BCD] und [CEA] gilt, dann existiert auf der Geraden DE ein Punkt F, für den [AFB] gilt.
- 8. Axiom: (Informal) Die Punkte auf einer Geraden liegen dicht (im Sinne des Grenzwertsatzes).
2 Dimensionen:
- 9. Axiom: Alle Punkte liegen in einer Ebene.
- 9. Axiom: Wenn ABC ein Dreieck bilden, dann gibt es einen Punkt D außerhalb der durch das Dreieck aufgespannten Ebene.
- 10. Axiom: Alle Punkte liegen im 3-dimensinalen Raum.
- 10. Axiom: Wenn ABCD einen 3-Dimensionalen Tetraeder bilden, dann gibt es einen Punkt E außerhalb des durch den Tetraeder aufgespannten Raumes.
- 11. Axiom: Alle Punkte liegen im 4-dimensinalen Raum.
- Dieses Schema kann bis zu beliebigen Dimensionen fortgeführt werden.
Literatur
- H. S. M. Coxeter. Introduction to Geometry. John Wiley & Sons, 1969.
- O. Veblen. The Foundations of Geometry. Chapter I of J. W. Young's Monographs on Topics of Modern Mathematics, Longmans Green, New York, 1911.