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Dreieck



''Dieser Artikel behandelt den geometrischen Begriff Dreieck. Für weitere Bedeutungen siehe Dreieck (Begriffsklärung).

Ein Dreieck ist ein Polygon und eine geometrische Figur.

Table of contents
1 Definition und Eigenschaften eines Dreiecks
2 Dreiecksarten
3 Dreiecke der Nichteuklidschen Geometrie
4 Oft auftretende Dreiecksgrößen
5 Sätze rund um das Dreieck
6 Weblinks

Definition und Eigenschaften eines Dreiecks

Ein Dreieck wird von drei Geraden, die nicht parallel zueinander liegen, eingeschlossen. Es ist durch seine drei Eckpunkte, die gleichzeitig die Schnittpunkte der drei nichtparallelen Geraden sind, definiert. Es wird durch drei die Eckpunkte geradlinig verbindende Seiten 'aufgespannt'. Daneben ist der von den zwei an einem Eckpunkt zusammentreffenden Seiten gebildete Winkel eine wichtige Größe zur Charakterisierung des Dreiecks.

In der Geometrie werden die Eckpunkte des Dreiecks in der Regel mit "A", "B" und "C" bezeichnet. Die Seite, die einer Ecke gegenüberliegt, wird entsprechend mit "a", "b" und "c" bezeichnet. Damit liegt dann die Seite "a" dem Eckpunkt "A" gegenüber, verbindet also die Punkte "B" und "C". Die Winkel_(Geometrie) werden "α", "β" und "γ" genannt; "α" ist der Winkel am Eckpunkt "A", etc.

Die Summe der Winkel in einem planaren Dreieck beträgt immer 180°.

Die intuitiv einsichtigen Eigenschaften des Dreiecks sind die des Dreiecks der ebenen Euklidischen Geometrie.

Dreiecksarten

Dreiecksarten unregelmäßig
Kein Winkel und keine Seite sind gleichgroß.
gleichschenklig
Zwei Seiten und zwei Winkel sind gleichgroß
gleichseitig
Alle Winkel und Seiten sind gleichgroß.
spitzwinklig
Alle Winkel sind spitze Winkel.
rechtwinklig
Ein Winkel ist ein rechter Winkel.
in der Ebene unmöglich
stumpfwinklig
Ein Winkel ist ein stumpfer Winkel.
in der Ebene unmöglich

Das gleichseitige Dreieck

Ein gleichseitiges Dreieck ist ein Dreieck, dessen drei Seiten alle gleich lang sind. Die Winkel eines gleichseitigen Dreiecks betragen alle 60°.

Die wichtigsten ausgezeichneten Punkte des Dreiecks - also Schwerpunkt, Umkreismittelpunkt, Höhenschnittpunkt und Inkreismittelpunkt - fallen bei einem gleichseitigen Dreieck zusammen.

Ist a die Seitenlänge eines gleichseitigen Dreiecks, dann ist die Länge seiner Höhe (d. h. einer von seinen drei Höhen; in der Tat sind alle drei Höhen gleich lang) gleich ; der Flächeninhalt des gleichseitigen Dreiecks ist . Der Umkreisradius ist ; der Inkreisradius ist .

Ein gleichseitiges Dreieck ist ein Sonderfall eines gleichschenkligen Dreiecks.

Ansonsten wird ein gleichseitiges Dreieck auch als regelmäßiges Dreieck bezeichnet, weil es zu den regelmäßigen Vielecken gehört.

Alle gleichseitigen Dreiecke sind zueinander ähnlich.

Das gleichschenklige Dreieck

Ein Dreieck heißt gleichschenklig, wenn es (mindestens) zwei gleich lange Seiten hat. Diese Seiten heißen dann die Schenkel des gleichschenkligen Dreiecks; die dritte Seite heißt dessen Basis. Die Ecke, in der die beiden Schenkel zusammentreffen, heißt Spitze des gleichschenkligen Dreiecks:

In jedem gleichschenkligen Dreieck sind auch die den beiden Schenkeln gegenüberliegenden Winkel gleich groß. Umgekehrt gilt: Sind zwei Winkel eines Dreiecks gleich groß, dann ist es gleichschenklig (und zwar sind dann die den beiden gleichen Winkeln gegenüberliegenden Seiten gleich lang).

Ist ein Dreieck gleichschenklig, dann fallen die Seitenhalbierende, die Winkelhalbierende und die Höhe (jeweils von der Spitze ausgehend) und die Mittelsenkrechte der Basis zu einer einzigen Geraden zusammen. Diese Gerade ist eine Symmetrieachse des gleichschenkligen Dreiecks.

Eine Sonderform des gleichschenkligen Dreiecks ist das Gleichseitiges Dreieck: Es hat drei gleich lange Seiten, jede von ihnen kann als Basis und als Schenkel gleichzeitig aufgefaßt werden.

Das rechtwinklige Dreieck

Ein rechtwinkliges Dreieck ist ein spezielles Dreieck der ebenen euklidischen Geometrie, das einen rechten Winkel besitzt. Die längste Seite des Dreiecks liegt dem rechten Winkel gegenüber, sie wird Hypotenuse genannt. Die beiden anderen Seiten heißen Katheten.

Rechtwinkliges Dreieck

Die Längen der drei Seiten werden durch den Satz des Pythagoras in Beziehung gebracht: Das Quadrat der Länge der Hypotenuse (in der Grafik als c bezeichnet) gleicht der Summe der Quadrate der Längen der Katheten (a und b).

In Bezug auf die spitzen Winkel des Dreiecks spricht man von der Ankathete des Winkels als die dem Winkel anliegende Kathete und von der Gegenkathete als die dem Winkel gegenüberliegende Kathete.

Durch das Verhältnis zwischen Katheten und Hypotenuse lässt sich auch ein Winkel im rechtwinkligen Dreieck eindeutig bestimmen.

Der Sinus des Winkels α ist dabei als das Verhältnis zwischen Gegenkathete, hier a, und Hypotenuse c definiert. Bezeichnungsweise: sin α = a : c.

Der Kosinus des Winkels α ist das Verhältnis zwischen Ankathete, hier b, und Hypotenuse. Bezeichnungsweise: cos α = b : c.

Der Tangens ist durch das Verhältnis zwischen Gegenkathete und Ankathete gegeben. Bezeichnung: tan α = a : b.

Der Kotangens ist das Verhältnis zwischen Ankathete und Gegenkathete, und ist damit der Kehrwert des Tangens. Bezeichnung: cot α = b : a = 1 : tan α.

Der Sekans ist das Verhältnis der Hypotenuse zur Ankathete, also der Kehrwert des Kosinus. Bezeichnung: sec α = c : b = 1 : cos α.

Der Kosekans ist das Verhältnis der Hypotenuse zur Gegenkathete, d. h. der Kehrwert des Sinus. Bezeichnung: csc α = c : a = 1 : sin α.

Diese sechs Funktionen werden Winkelfunktionen oder trigonometrische Funktionen genannt; im schulischen Kanon werden diese jedoch meistens auf die ersten drei reduziert (diese sind auch die geläufigsten, die anderen sind seltener von Bedeutung).

Das gleichschenklig-rechtwinklige Dreieck

Dreiecke der Nichteuklidschen Geometrie

Sphärische Dreiecke

Dreiecke (man nennt sie sphärisch) auf der Kugel, wobei die Seiten Teile eines Großkreises sind - mit einer Winkelsumme größer als 180°

Die Kongruenzsätze machen Aussagen über die Dreiecksgrößen (Seitenlänge, Winkel), die notwendig sind, um ein Dreieck eindeutig zu bestimmen.

In der Trigonometrie, einem Teilgebiet der Mathematik, spielen Dreiecke eine bedeutende Rolle. Siehe dazu insbesondere Dreieckstrigonometrie.

Oft auftretende Dreiecksgrößen

Interessant sind auch die Schnittpunkte dieser Linien bzw. die Mittelpunkte der Kreise, die als ausgezeichnete Punkte des Dreiecks bekannt sind.

Sätze rund um das Dreieck

Weblinks




     
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