WEB LEXIKON: Ein Blick zurück
Hauptseite | Aktueller Wikipedia-Artikel

Topologie-Glossar



Dies ist ein Glossar von einigen Begriffen, die in dem Bereich der Mathematik vorkommen, der als Topologie bekannt ist.

Dieses Glossar besteht aus zwei Teilen. Der erste Teil beschäftigt sich mit allgemeinen Konzepten und der zweite Teil erklärt Typen von topologischen Räumen. Alle Räume in diesem Glossar werden als topologische Räume angenommen.

Table of contents
1 Teil 1 -- Topologische Konzepte
2 Teil 2 -- Arten von topologischen Räumen

Teil 1 -- Topologische Konzepte

; Stetig: Eine Funktion von einem Raum auf einen anderen ist stetig, wenn das Urbild jeder offenen Menge offen ist.

;Homöomorph: Zwei Räume X und Y sind homöomorph, falls es eine bijektive Abbildung f: X -> Y gibt, so dass f und f -1 stetig sind. Vom Standpunkt der Topologie aus sind X and Y gleich. Die Funktion f wird Homöomorphismus genannt.

; Abschluss: Der Abschluss einer Teilmenge M eines Raumes R ist die Schnittmenge aller abgeschlossenen Mengen in R, die M enthalten. Der Abschluss ist die kleinste abgeschlossene Menge, die die ursprüngliche Menge enthält.

; Innerer Kern: Der innere Kern einer Teilmenge M des Raumes R ist die Vereinigung aller offenen Mengen von R, die in M enthalten sind. Er ist die größte offene Menge, die in der ursprünglichen Menge enthalten ist.

; Rand: Der Rand einer Menge ist der Abschluss der Menge minus ihrem inneren Kern.

; Dicht: Eine dichte Menge ist eine Menge, deren Abschluss der ganze Raum ist.

; Nirgends dicht: Eine nirgends dichte Menge ist eine Menge, deren Abschluss einen leeren inneren Kern hat.

; Umgebung: Eine Umgebung einer Menge S ist eine Menge, die eine offene Menge enthält, die wiederum die Menge S enhält. Eine Umgebung eines Punktes p ist eine Umgebung der einelementigen Menge {p}.

; Subbasis: Ein System von offenen Mengen ist eine Unter-Basis einer Topologie, falls jede offene Menge eine Vereinigung von endlichen Schnitten von Mengen in der Unter-Basis ist.

; Basis: Ein System von offenen Mengen ist eine Basis einer Topologie, falls jede offene Menge eine Vereinigung von Mengen der Basis ist.

; Umgebungsbasis: Ein System B von Umgebungen eines Punktes x aus einem topologischen Raum X ist eine lokale Basis auf x, falls jede Umgebung von x ein Element von B enthält.

; Lokal endlich: Ein System von Teilmengen eines Raumes ist lokal endlich, falls jeder Punkt eine Umgebung hat, die nur endlich viele der Teilmengen berührt.

; Überdeckung: Ein System {Ui} von Mengen ist eine Überdeckung, falls ihre Vereinigung der ganze Raum ist. Eine offene Überdeckung ist eine Überdeckung {Ui}, in der jedes Ui eine offene Menge ist.

; Teilüberdeckung: Eine Überdeckung K ist eine Teilüberdeckung einer Überdeckung L, falls jedes Element von K auch ein Element von L ist.

; Verfeinerung: Eine Überdeckung K ist ist eine Verfeinerung einer Überdeckung L, falls jedes Element von K eine Teilmenge eines Elementes von L ist.

; Durch Funktionen trennbar: Zwei Mengen A und B in einem Raum sind durch Funktionen trennbar getrennt, falls es eine stetige Funktion von dem Raum auf das Intervall [0,1] gibt mit der Eigenschaft, dass A auf 0 abgebildet wird und B auf 1.

; Zerlegung der Eins: Eine Zerlegung der Eins (oder Unterteilung der Einheit) ist eine Menge von stetigen Funktionen von einem Raum auf [0,1], so dass jeder beliebige Punkt eine Umgebung hat, wo alle außer einer endlichen Anzahl gleich Null sind und die Summe aller in jedem Punkt 1.

; Homotope Abbildungen: Zwei stetige Abbildungen f, g: X -> Y sind homotop, falls es eine stetige Abbildung H: X × [0,1] -> Y gibt, so dass H(x,0) = f(x) und H(x,1) = g(x) für alle x aus X. Die Funktion H wird eine Homotopie zwischen f und g genannt.

Teil 2 -- Arten von topologischen Räumen

Topologische Räume können klassifiziert werden unter Berücksichtigung des Grades, in dem ihre Punkte getrennt sind, unter Berücksichtigung ihrer Kompaktheit, ihrer gesamten Größe und ihres Zusammenhangs.

Trennungsaxiome

Für eine detaillierte Behandlung, siehe Trennungsaxiom. Einige dieser Begriffe werden in älterer mathematischer Literatur anders definiert; siehe Geschichte der Trennungsaxiome.

; Kolmogoroff oder T0: Ein Raum ist T0, falls es zu jedem Paar von unterschiedlichen Punkten in dem Raum eine offene Menge gibt, die einen Punkt enthält, jedoch nicht den anderen. Verschiedene Punkte haben also verschiedene Umgebungsfilter.

; T1: Ein Raum ist T1, falls jede einelementige Teilmenge (engl. singleton) abgeschlossen ist. T1 Räume sind immer T0.

; Hausdorff oder T2: Ein Raum ist Hausdorff, falls jedes Paar von unterschiedlichen Punkten disjunkte Umgebungen besitzt. Hausdorff-Räume sind immer T1.

; Nüchtern (engl. sober), falls jede irreduzible abgeschlossene Menge (d.h. nicht echte Vereinigung abgeschlossener Teilmengen) Abschluß genau eines Punktes ist. Hausdorff-Räume sind nüchtern; nüchterne Räume sind T0.

; Regulär: Ein Raum ist regulär, falls für alle abgeschlossenen Mengen C und Punkte p nicht in C, C und p disjunkte Umgebungen besitzen. Reguläre T0 Räume sind immer Hausdorffsch.

; Tychonoff: Ein Hausdorff-Raum ist Tychonoff, falls für alle abgeschlossenen Mengen C und Punkte p nicht in C, C und {p} funktionell getrennt sind. Tychonoff Räume sind immer regulär.

; Normal: Ein Raum ist normal, falls zwei beliebige disjunkte abgeschlossene Mengen disjunkte offene Umgebungen haben. Normale Räume erlauben Zerlegungen der Eins. Normale T1 Räume sind immer Tychonoffsch.

Kompaktheit

; Parakompakt: Ein Raum ist parakompakt, falls jede offene Überdeckung eine offene, lokal endliche Verfeinerung besitzt. Parakompakte Hausdorff-Räume sind normal.

; Lindelöf: Ein Raum ist lindelöf, falls jede offene Abdeckung eine abzählbare Unterabdeckung besitzt.

; Kompakt: Ein Raum ist kompakt, falls jede offene Abdeckung eine endliche Unterabdeckung besitzt. Kompakte Räume sind immer lindelöf und parakompakt. Kompakte Hausdorff-Räume sind somit normal.

; Lokal kompakt: Ein Raum ist lokal kompakt, falls jeder Punkt eine lokale Basis bestehend aus kompakten Umgebungen hat. Lokal kompakte Hausdorff-Räume sind immer Tychonoff.

Größe

; Separabel: Ein Raum ist separabel, falls er eine abzählbare dichte Teilmenge hat.

; Erst-abzählbar: Ein Raum ist erst-abzählbar, falls jeder Punkt eine abzählbare lokale Basis hat.

; Zweit-abzählbar: Ein Raum ist zweit-abzählbar, falls er eine abzählbare Basis als Topologie besitzt. Zweit-abzählbare Räume sind immer = separabel, erst-abzählbar und lindelöfsch.

Zusammenhang

; Zusammenhängend: Ein Raum X ist zusammenhängend, falls er nicht die Vereinigung von zwei disjunkten, nicht-leeren offenen Mengen ist.

; Lokal zusammenhängend: Ein Raum ist lokal zusammenhängend, falls jeder Punkt eine lokale Basis bestehend aus zusammenhängenden Mengen besitzt.

; Total unzusammenhängend: Ein Raum ist total unzusammenhängend, falls er keine zusammenhängende Teilmenge mit mehr als einem Punkt besitzt.

; Wegzusammenhängend: Ein Raum X ist wegzusammenhängend (oder pfad-zusammenhängend), falls es für jedes Paar von Punkten x,y aus X einen Pfad p von x nach y gibt, d.h. eine stetige Abbildung p : [0,1] -> X mit p(0) = x, und p(1) = y. Wegzusammenhängende Räume sind immer zusammenhängend.

; Lokal wegzusammenhängend: Ein Raum ist lokal wegzusammenhängend, falls jeder Punkt eine lokale Basis bestehend aus wegzusammenhängenden Mengen besitzt. Ein lokal wegzusammenhängender Raum ist zusammenhängend genau dann, wenn er wegzusammenhängend ist.

; Einfach zusammenhängend: Ein Raum X ist einfach zusammenhängend, falls er wegzusammenhängend ist und jede stetige Abbildung f : S1 -> X homotop zu einer konstanten Abbildung ist (dabei ist S1 der Einheitskreis im R2). Einfacher ausgedrückt: X besitzt keine "Löcher".

; Zusammenziehbar: Ein Raum X ist zusammenziehbar, falls die Identitätsabbildung auf X homotopisch zu einer konstanten Abbildung ist. Zusammenziehbare Räume sind immer einfach zusammenhängend.

Verschiedenes

; Metrisierbar: Ein Raum ist metrisierbar, falls er homöomorph zu einem metrischen Raum ist. Metrisierbare Räume sind immer Hausdorff und parakompakt (und daher normal und Tychonoff) und erst-abzählbar.

; Lokal metrisierbar: Ein Raum ist lokal metrisierbar, falls jeder Punkt eine metrisierbare Umgebung besitzt.

; Homogen: Ein Raum X ist homogen, falls es für alle x und y aus X einen Homöomorphismus f : X -> X gibt, so dass f(x) = y. Anschaulich gesagt bedeutet dies, dass der Raum an jedem Punkt gleich aussieht. Alle topologischen Gruppen sind homogen.




     
Das Web Lexikon "Ein Blick zurück" bietet die Moeglichkeit auf einfache Art und Weise in den "alten" Wikipedia-Beiträgen zu blättern. Das Lexikon spiegelt den Stand der freien Wikipedia-Enzyklopädie vom August 2004 wider. Sie finden hier in rund 120.000 Artikel aus dieser Zeit Informationen, Erklärungen, Definitionen, Empfehlungen, Beschreibungen, Auskünfte und Bilder. Ebenso kommen Begriffserklärung, Zusammenfassung, Theorie, Information, Beschreibung, Erklärung, Definition und Geschichte nicht zu kurz. Ein Lexikon das Auskunft, Bericht, Hinweis, Bedeutung, Bild, Aufklärung, Darstellung und Schilderung zu unterschiedlichsten Themen kompakt auf einer Seite bietet.
Impressum ^ nach oben ^