Maßtheorie
Die Maßtheorie ist ein Zweig der Mathematik, der die elementargeometrischen Begriffe Streckenlänge, Flächeninhalt, Volumen verallgemeinert und es dadurch ermöglicht, auch komplizierteren Mengen ein Maß zuzuordnen.Die Maßtheorie bildet das Fundament der modernen Integrations- und Wahrscheinlichkeitstheorie (stochastische Analysis). Die Maßtheorie ermöglicht es, den Integralbegriff auf unstetige Integranden zu erweitern, die nicht Riemann-integrierbar sind.
Table of contents |
1.1 Messraum, messbare Mengen
2 Verallgemeinerungen1.2 Maß, Maßraum 1.3 Nullmenge, vollständig, fast überall 1.4 endlich, σ-endlich 3 Ergebnisse |
Für eine exakte Definition der Grundbegriffe der Maßtheorie beginnen wir mit einer Grundmenge Ω. Wenn eine gewisse Menge Σ von Teilmengen von Ω eine σ-Algebra bildet, dann heißt jede Menge, die Element von Σ ist, messbar (engl. measurable), und die Grundmenge Ω mit der Struktur Σ heißt Messraum (engl. measurable space). Eine Funktion, die die Struktur eines Messraums erhält, heißt messbare Funktion.
Vokabelerklärung:
Ein Maß μ ist eine Funktion, die jeder Menge S aus Σ einen Wert μ(S) zuordnet. Dieser Wert ist entweder eine nichtnegative reelle Zahl oder ∞ (siehe unten wegen möglicher Verallgemeinerungen). Ferner muss gelten:
Beispiele für Maße:
Eine Nullmenge ist eine Menge S aus Σ mit dem Maß μ(S)=0. Ein Maß heißt vollständig, wenn jede Teilmenge jeder Nullmenge in Σ enthalten ist. Eine Eigenschaft gilt fast überall in Ω, wenn sie höchstens in einer Nullmenge nicht gilt.
Ein Maß heißt endlich, wenn μ(Ω)<∞. Ein Maß heißt σ-endlich, wenn Ω die Vereinigung einer abzählbaren Folge messbarer Mengen S1, S2, S3, ... ist, die alle ein endliches Maß μ('Sk'')<∞ haben.
Beispiele:
Bemerkung:
Eine mögliche Verallgemeinerung betrifft den Wertebereich der Funktion μ.
Definitionen und Beispiele
Messraum, messbare Mengen
Beispiele für Messräume:
Maß, Maßraum
Die Struktur (Ω, Σ, μ) eines Messraums, auf dem ein Maß definiert ist, heißt Maßraum (engl. measure space).Nullmenge, vollständig, fast überall
endlich, σ-endlich
Die messbaren Teilmengen des R sind die Borel-Mengen.Verallgemeinerungen
Historisch wurden zuerst endlich additive Maße eingeführt. Die moderne Definition, derzufolge ein Maß abzählbar additiv ist, erwies sich jedoch als nützlicher.