Absoluter Betrag
Der absolute Betrag, Absolutbetrag oder auch schlicht Betrag einer Zahl ist immer eine positive Zahl oder Null. Man schreibt den Betrag einer Zahl x als |x| oder als abs(x).
Table of contents |
2 Betrag und Metrik 3 Beispiele 4 Verallgemeinerung: Norm 5 Verallgemeinerung: Betrag und Bewertung 6 Weblink |
Bei den reellen Zahlen ist der Betrag der Zahl die Zahl selbst, wenn sie positiv oder Null ist:
Konkrete Beispiele
Wenn die Zahl negativ ist, gilt:
Man kann den Betrag auch als Entfernung der Zahl vom Nullpunkt auf der Zahlengerade ansehen.
Übertragen auf komplexe Zahlen ist der Absolutbetrag einer Zahl z = a + ib die Entfernung dieser Zahl vom Ursprung der Gaußschen Zahlenebene. Für die komplexe Zahl z ist
Über den Betrag kann man eine Abstandsfunktion (Metrik) definieren:
Der Abstand d(x,y) zweier Zahlen x, y ist der Betrag ihrer Differenz |x - y|.
Ist der Betrag nichtarchimedisch (siehe unten), dann ist die erzeugte Metrik eine Ultrametrik.
|x+3| = 5 Gesucht ist x
1. x + 3 = 5
Der Absolutbetrag ist eine spezielle Norm; den Begriff Norm kann man als eine Verallgemeinerung des Absolutbetrags verstehen.
Verallgemeinert spricht man von einem Betrag, wenn eine Funktion |·| von einem Körper K in die reellen Zahlen folgende Eigenschaften erfüllt:
so spricht von einem nichtarchimedischen, andernfalls von einem archimedischen Betrag.
Die oben genannte Betragsfunktion auf den reellen bzw. komplexen Zahlen ist archimedisch. Da 3. aus 4. folgt, nennt man 4. auch die verschärfte Dreiecksungleichung. Nichtarchimedische Beträge spielen eine wichtige Rolle in der Theorie der p-adischen Zahlen.
Hat man einen nichtarchimedischen Betrag |·|, und wählt eine positive reelle Zahl b, dann hat die Funktion v: K → R ∪ {∞} mit für x≠0 und v(0)=-∞ folgende Eigenschaften:
Umgekehrt kann man einer Bewertung v einen nichtarchimedischen Betrag zuordnen, indem man für eine positive reelle Zahl b setzt: |x| = b-v(x).
Bei komplexen Zahlen
Betrag und Metrik
Beispiele
2. -(x + 3) = 5
Verallgemeinerung: Norm
Verallgemeinerung: Betrag und Bewertung
Gilt zudem x|,|y
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Eine Funktion v: K → R ∪ {∞} mit diesen drei Eigenschaften nennt man eine Bewertung auf K.Weblink