P-adische Zahl
Für jede Primzahl p bilden die p-adischen Zahlen einen Erweiterungskörper Qp der rationalen Zahlen, der 1897 erstmals von Kurt Hensel beschrieben wurde.Diese Körper wurden und werden benutzt, um Probleme in der Zahlentheorie zu lösen, oftmals unter Verwendung des lokal-global-Prinzips von Helmut Hasse, welches vereinfacht gesprochen aussagt, dass eine Gleichung genau dann über den rationalen Zahlen Q gelöst werden kann, wenn sie über den reellen Zahlen R und allen Qp gelöst werden kann (was aber nicht so allgemein zutrifft, für die genaue Bedeutung siehe dort). Als metrischer Raum ist Qp vollständig, und erlaubt so die Entwicklung einer p-adischen Analysis analog zur reellen Analysis.
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2 Konstruktion 3 Eigenschaften |
Ist p eine fest gewählte Primzahl, dann kann jede ganze Zahl geschrieben werden in einer p-adischen Entwicklung (man sagt, die Zahl wird "zur Basis p geschrieben", siehe auch Stellenwertsystem) der Form
Die bekannte Verallgemeinerung dieser Beschreibung auf größere Zahlmengen (rationale und reelle) ist die Zulassung unendlicher Summen dieser Form:
Motivation
wobei die Zahlen aus sind.
Zum Beispiel ist die 2-adische Entwicklung gerade die Binärdarstellung, und 35 hat die Darstellung
,
die oft mit 1000112 abgekürzt wird.
Diese Reihen sind konvergente
Partialsummenfolgen bezüglich des gewöhnlichen Absolutbetrags. Man kann dann zum Beispiel 1/3 zur Basis 5 darstellen als Grenzwert der Reihe 0,13131313...5. In diesem System sind die ganzen Zahlen genau diejenigen, für die
ist für alle .Alternativ könnte man die Summen am anderen Ende ins Unendliche verlängern, und Reihen dieser Form erhalten:
- (3)
Mit diesen "formalen Laurentreihen in p" kann man rechnen wie mit den gewöhnlichen p-adischen Entwicklungen reeller Zahlen: Addition von rechts nach links mit Übertrag, Multiplikation nach Schulmethode. Beachten muss man nur, dass sich Überträge ins Unendliche fortsetzen können, beispielsweise ergibt die Addition von ...444445 und 15 die Zahl 05. Das fehlende Vorzeichen ist also tatsächlich nicht nötig, da auch alle negativen Zahlen eine p-adische Darstellung haben. Damit lässt sich auch die Subtraktion nach Schulmethode von rechts nach links durchführen, unter Umständen mit einem unendlich oft auftretenden Borgen (man versuche es bei 05-15=...44445). Die Division dagegen wird im Gegensatz zur Schulmethode auch von rechts nach links durchgeführt, dadurch wird das Ergebnis nach links fortgesetzt, falls die Division nicht "aufgeht".
Ein technisches Problem ist nun, ob diese Reihen überhaupt sinnvoll sind, d.h. ob sie in irgendeinem Sinne konvergieren. Zwei Lösungen dafür werden nun vorgestellt.
Die reellen Zahlen können konstruiert werden als
Vervollständigung der rationalen Zahlen.
Sie werden dabei aufgefasst als Äquivalenzklassen von rationalen Cauchy-Folgen. Dies erlaubt uns zum Beispiel, die Zahl 1 als 1,000... zu schreiben, oder als 0,999... - es ist 1,000... = 0,999... in R.
Jedoch hängt bereits die Definition einer Cauchy-Folge von der verwendeten Metrik ab, und indem man statt der üblichen euklidischen Metrik, die vom Absolutbetrag erzeugt wird, eine andere Metrik benutzt, erhält man andere Vervollständigungen anstelle der reellen Zahlen.
Für eine fest vorgegebene Primzahl p definieren wir den
p-adischen Betrag auf Q:
Jede rationale Zahl x außer 0 lässt sich schreiben als mit einer ganzen Zahl n und zwei ganzen Zahlen a,b, die beide nicht durch p teilbar sind. Wir setzen dann und . Dies ist ein nichtarchimedischer Betrag.
Zum Beispiel ist x=63/550=,
damit ist
Die p-adische Metrik auf Q definiert man nun so:
Da die so definierte Metrik eine Ultrametrik ist, konvergieren Reihen bereits dann, wenn die Summanden eine Nullfolge bilden. In diesem Körper sind also die oben erwähnten Reihen der Form
Hier wird zuerst der Ring der p-adischen ganzen Zahlen definiert, und danach dessen Quotientenkörper Qp.
Wir definieren Zp als projektiven Limes der Ringe Z/pnZ (siehe Kongruenz (Zahlentheorie)): Eine p-adische ganze Zahl ist dann eine Folge von Restklassen aus Z/pnZ, wobei gilt:
Die komponentenweise definierte Addition und Multiplikation ist wohldefiniert, da Addition und Multiplikation ganzer Zahlen mit der Restklassenbildung vertauschbar ist. Damit hat jede p-adische ganze Zahl
die negative Zahl , und jede Zahl deren erste Komponente nicht 0 ist, hat ein Inverses, denn in dem Fall sind alle zu teilerfremd, haben also ein Inverses modulo , und die Folge (welche die Kongruenzeigenschaft des projektiven Limes hat) ist dann die Inverse zu .
Jede p-adische Zahl kann auch als Reihe der oben beschriebenen Form (3) dargestellt werden, dabei sind die Partialsummen gerade die Komponenten der Folge. Zum Beispiel kann man die 3-adische Folge auch schreiben als
, oder in der verkürzten Schreibweise als ...0010223.
Der Ring der p-adischen ganzen Zahlen ist nullteilerfrei, deshalb können wir den Quotientenkörper bilden und erhalten Qp, den Körper der p-adischen Zahlen. Jedes Element dieses Körpers kann man darstellen in der Form , wobei n eine ganze Zahl ist, und u eine invertierbare p-adische ganze Zahl (also mit erster Komponente ungleich 0). Diese Darstellung ist eindeutig.
Die Menge Qp der p-adischen Zahlen ist überabzählbar.
Die p-adischen Zahlen enthalten Q und bilden einen Körper der Charakteristik 0. Dieser Körper kann nicht angeordnet werden.
Der topologische Raum Zp der p-adischen ganzen Zahlen ist kompakt, der Raum aller p-adischen Zahlen ist lokal kompakt. Als metrische Räume sind beide vollständig.
Die reellen Zahlen haben nur eine einzige echte algebraische Erweiterung, die komplexen Zahlen, bereits die Adjunktion einer Quadratwurzel ist algebraisch abgeschlossen.
Im Gegensatz dazu hat der algebraische Abschluss von Qp einen unendlichen Erweiterungsgrad. Qp hat also unendlich viele inäquivalente algebraische Erweiterungen.
(Nebenbei ist der algebraische Abschluss von Qp nicht vollständig und kann vervollständigt werden zum Körper 'C\'p, der bezüglich seiner Analysis etwa den komplexen Zahlen entspricht.)
Die übliche Definition der e-Funktion
Damit liegt die Eulersche Zahl in keinem Qp,
aber liegt in Qp für alle ,
in Q2 liegt .
Funktionen von R nach R mit Ableitung 0 sind konstant. Für Funktionen von Qp nach Qp gilt dieser Satz nicht, zum Beispiel hat die Funktion
Konstruktion
Analytische Konstruktion
p-adischer Betrag
Durch diese Definition des Betrags werden große Potenzen von p "betragsmäßig klein".p-adische Metrik
Damit ist beispielsweise die Folge in Q bezüglich der 5-adischen Metrik eine Nullfolge, wohingegen die Folge
beschränkt, aber keine Cauchy-Folge ist, denn für jedes n ist
Die Vervollständigung des metrischen Raums (Q,dp)
ist der metrische Raum Qp der p-adischen Zahlen, er besteht aus Äquivalenzklassen von Cauchy-Folgen, wobei zwei Cauchy-Folgen äquivalent heißen, wenn die Folge ihrer punktweisen p-adischen Abstände eine Nullfolge ist. Auf diese Weise erhalten wir einen vollständigen metrischen Raum, der (durch die wohldefinierten komponentenweisen Verknüpfungen der Cauchy-Folgen-äquivalenzklassen) außerdem ein Körper ist, in dem Q enthalten ist.
sofort als konvergent zu erkennen, falls k eine ganze Zahl ist und die in liegen. Man kann zeigen, dass sich jedes Element von Qp als Grenzwert genau einer solchen Reihe darstellen lässt.Algebraische Konstruktion
Jede ganze Zahl m definiert eine Folge
und kann daher als Element von Zp aufgefasst werden.
Zum Beispiele sähe 35 in Z2 so aus:
.Eigenschaften
konvergiert für alle x mit .
Dieser Konvergenzkreis gilt sogar für alle Erweiterungen von
Qp.
auf ganz Qp die Ableitung 0, ist aber nicht einmal lokal konstant in 0. Dabei ist die Ableitung analog zum reellen Fall über den Grenzwert der Differenzenquotienten definiert, und die Ableitung in 0 ist
Sind Elemente von , dann gibt es eine Folge in Q, so dass für alle p (einschließlich ) der Grenzwert der in Qp ist. (Diese Aussage wird manchmal Näherungssatz genannt.)