Nullteiler
In der Algebra ist ein Nullteiler eines kommutativen Ringeses R ein vom Nullelement verschiedenes Element a, für das es ein Element b ungleich 0 gibt, so dass ab=0.Ist R ein nichtkommutativer Ring und a ungleich 0, dann unterscheidet man stattdessen zwischen:
- Linksnullteiler: es gibt ein Element b ungleich 0, so dass ab=0
- Rechtsnullteiler: es gibt ein Element b ungleich 0, so dass ba=0
- (beidseitiger) Nullteiler: es gibt Elemente b,c ungleich 0, so dass ab=0, ca=0.
Ein nullteilerfreier kommutativer Ring mit 1 heißt Integritätsring.
Der Ring Z der ganzen Zahlen ist nullteilerfrei, der Ring Z2 (mit komponentenweise Addition und Multiplikation) enthält die Nullteiler (0,1) und (1,0), denn (0,1)*(1,0)=(0,0).
Jeder Körper ist nullteilerfrei.
Der Restklassenring Z/6Z hat die Nullteiler 2 und 3, denn 2*3=0 mod 6.
Allgemein ist der Restklassenring Z/nZ nullteilerfrei (sogar ein Körper) genau dann, wenn n eine Primzahl ist.
Der Ring der reellen 2x2-Matrizen enthält den Nullteiler
Beispiele
denn
Allgemein sind die Nullteiler im Ring der n-mal-n-Matrizen über einem Körper oder Integritätsring genau die Matrizen mit Determinante 0 (hier gibt es trotz fehlender Kommutativität keinen Unterschied zwischen Links- und Rechtsnullteilern).
Idempotentee Elemente ungleich 0 eines Rings sind Nullteiler, denn aus a2 = a folgt a*(a-1) = (a-1)*a = 0. Nilpotente Elemente ungleich 0 (x mit xn = 0 für ein n aus N) sind trivialerweise Nullteiler.
Nullteiler sind keine Einheiten, denn wäre a invertierbar und ab=0, dann wäre 0=a-10=a-1ab=b.
In einem nichtkommutativen Ring mit Einselement (1a=a1=a für alle a) gilt diese Aussage nur so:
Ein Linksnullteiler hat kein Linksinverses. Jedoch kann ein Linksnullteiler ein Rechtsinverses haben. Analoges gilt für Rechtsnullteiler. (Ein beidseitiger Nullteiler hat demnach auch hier kein Inverses.)
Ist a ein Linksnullteiler, dann ist offensichtlich für jedes b das Produkt ba ebenfalls ein Linksnullteiler oder gleich Null. Das Produkt ab muss aber kein
Links- oder Rechtsnullteiler sein (siehe dazu das Beispiel des Matrixrings R im Artikel Einheit (Mathematik), dessen Elemente A und B einseitige Nullteiler sind, die jeweils einseitige Inverse voneinander sind, da AB = E die Einheitsmatrix ist).
Eigenschaften