Quaternionen
Dieser Artikel enthält mathematische Symbole. Diese werden in der Tabelle mit mathematischen Symbolen erläutert.Die Quaternionen sind eine Verallgemeinerung der komplexen Zahlen. Entdeckt wurden sie 1843 von Sir William Rowan Hamilton und werden oft auch Hamilton-Zahlen genannt. Das Symbol dieser Menge ist .
Quaternionen sind eine vierdimensionale Divisionsalgebra über dem Körper der reellen Zahlen mit einer nicht kommutativen Multiplikation.
Jedes Quaternion ist durch vier reelle Komponenten eindeutig bestimmt. Oft werden Quaternionen als Linearkombination dieser vier Komponenten mit vier Basiselementen dargestellt:
Table of contents |
2 Quaternionenprodukt 3 Exponentialfunktion 4 Praktische Anwendungen 5 Verwandte Themen 6 Weblink |
Überträgt man die aus den Zahlenkörpern und bekannten Operationen + (Addition) und * (Multiplikation) auf , erhält man einen Schiefkörper.
Rechenregeln
Addition | Multiplikation |
---|---|
(x0 + x1i + x2j + x3k) + (y0 + y1i + y2j + y3k) |
(x0 + x1i + x2j + x3k) * (y0 + y1i + y2j + y3k) |
ist assoziativ und kommutativ | ist assoziativ aber nicht kommutativ |
Dabei gilt:
Quaternionenprodukt
Die besondere Stellung der Komponente x0 ist offensichtlich, man bezeichnet sie analog zu den Komplexen Zahlen als Realteil oder Skalarteil , während die Komponenten x1, x2 und x3 Imaginärteil oder Vektorteil genannt werden. Ein Quaternion, dessen Realteil 0 ist, heißt reines Quaternion.
Bei der Multiplikation von reinen Quaternionen a und b entsteht ein Quaternion, dessen Skalarteil s = − <a , b> bis auf das Vorzeichen dem Skalarprodukt der beiden Vektorteile entspricht, während der Vektorteil , das Vektorprodukt der Vektorteile von a und b ist.
Man kann für Quaternionen q eine Fortsetzung der Exponentialfunktion definieren:
Exponentialfunktion
Diese unendliche Reihe konvergiert für jedes Quaternion, und lässt sich in der Form
Das Exponential eines reinen Quaternions kann so berechnet werden:
- .
- .
Praktische Anwendungen
Arthur Cayley entdeckte, dass sich mit Quaternionen Drehungen im Raum beschreiben lassen. Genutzt wird dies heutzutage im Bereich der interaktiven Computergrafik, insbesondere bei Computerspielen. Bei Verwendung von Quaternionen an Stelle von Rotationsmatrizen werden etwas weniger Rechenoperationen benötigt. Insbesondere, wenn viele Rotationen miteinander kombiniert (multipliziert) werden, steigt die Verarbeitungsgeschwindigkeit. Des weiteren werden Quaternionen zur Programmierung von Industrierobotern genutzt.
Die Verallgemeinerung der Quaternionen auf die Dimension 8 werden Cayley-Zahlen oder Oktaven genannt.
Natürliche Zahlen -- Ganze Zahlen -- Rationale Zahlen -- Reelle Zahlen -- Komplexe Zahlen -- Quaternionen -- Oktaven
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