Vollständiger Raum
vollständiger Raum |
berührt die Spezialgebiete |
ist Spezialfall von |
umfasst als Spezialfälle |
Ein vollständiger Raum ist in der Analysis ein metrischer Raum M, in dem jede Cauchy-Folge von Punkten aus M gegen eine Element von M konvergiert.
- Für andere Wortbedeutungen von vollständig siehe die Begriffsklärungsseite Vollständigkeit.
Table of contents |
2 Einige Sätze 3 Vervollständigung 4 Topologisch vollständige Räume |
Die Menge der rationalen Zahlen mit der Betragsmetrik (erzeugt vom
reellen Absolutbetrag) ist unvollständig. Oben wurde bereits √2 als irrationale Zahl genannt, und die Folge rationaler Zahlen
Das offene Intervall , ebenfalls mit der Betragsmetrik,
ist ebenfalls nicht vollständig, denn die Cauchy-Folge
Der Raum der reellen Zahlen und der der
komplexen Zahlen (beide mit der Betragsmetrik)
sind beide vollständig, ebenso wie der euklidische Vektorraum
. Viele Vektorräume sind vollständig,
andere nicht; die vollständigen Vektorräume nennt man Banachräume.
Der Raum der p-adischen Zahlen
ist vollständig für jede Primzahl p. Dieser Raum ist die Vervollständigung
von bezüglich der Metrik des p-adischen Betrags,
so wie die Vervollständigung von für die Metrik des Absolutbetrags ist.
Ist S eine beliebige nichtleere Menge, dann kann man die Menge
Beispiele
ist eine Cauchy-Folge, die innerhalb von Q nicht konvergiert, denn
ihr Grenzwert ist gerade √2.hat keinen Grenzwert in diesem Intervall.
Das abgeschlossene Intervall dagegen ist vollständig,
der Grenzwert 0 dieser Folge liegt darin.aller Folgen in S zu einem metrischen
Raum machen, indem man den Abstand zweier verschiedener Folgen
auf den Wert setzt, wobei
N der kleinste Index ist, für den verschieden ist von
, und den Abstand einer Folge von sich selbst auf 0 setzt.
Dieser metrische Raum ist dann vollständig (und ultrametrisch). Er ist homöomorph zum Produkt
abzählbar vieler Kopien des diskreten Raums S.
Jeder kompakte metrische Raum ist vollständig.
Ein metrischer Raum ist kompakt genau dann, wenn er vollständig und
totalbeschränkt ist.
Eine Teilmenge eines vollständigen Raumes ist selbst vollständig genau dann,
wenn sie abgeschlossen ist.
Ist X eine nichtleere Menge, ein vollständiger
metrischer Raum, dann ist der Raum der
beschränkten Funktionen von X nach M ein vollständiger
metrischer Raum mit der Metrik
Einige Sätze
Ist X ein topologischer Raum und M ein vollständiger metrischer
Raum, dann ist die Menge der beschränkten
stetigen Funktionen von X nach M eine
abgeschlossene Teilmenge von , und als solche
vollständig.
Für jeden metrischen Raum M gibt es einen vollständigen metrischen
Raum M' , der M als dichten Teilraum enthält. Diesen Raum
nennt man eine Vervollständigung von M. Da alle Vervollständigungen
von M metrisch isomorph sind, spricht man auch von
der Vervollständigung von M.
Die Vervollständigung von M kann man konstruieren als Menge von
Äquivalenzklassen von Cauchy-Folgen in M. Für zwei Cauchy-Folgen
Dieser Abstand existiert, er ist aber nur eine Pseudometrik, denn verschiedene Cauchy-Folgen
können den Abstand 0 haben. Diese Eigenschaft, "x,y haben Abstand 0",
ist eine Äquivalenzrelation auf der Menge der Cauchy-Folgen,
und die Menge aller Äquivalenzklassen M' ist mit diesem
Abstandsbegriff ein metrischer Raum, und zwar ein vollständiger.
Identifiziert man jedes Element x aus M mit der Äquivalenzklasse
der konstanten Folge , so erhält man eine isometrische
Einbettung von M in M' .
Cantors Konstruktion der reellen Zahlen aus den rationalen
ist ein Spezialfall hiervon. Wie oben schon gesagt, erhält man andere
metrische Räume Qp, wenn man statt der gewöhnlichen Betragsmetrik
eine p-adische Metrik verwendet und Q vervollständigt.
Vervollständigt man einen normierten Vektorraum, so erhält man einen
Banachraum, der den ursprünglichen Raum als dichten Teilraum enthält,
und vervollständigt man einen euklidischen Vektorraum, so erhält man
einen Hilbertraum, in dem der ursprüngliche Raum dicht liegt.
Vollständigkeit ist eine Eigenschaft der Metrik, nicht der Topologie,
das heißt, ein vollständiger metrischer Raum kann homöomorph sein zu
einem unvollständigen metrischen Raum.
Zum Beispiel sind die reellen Zahlen vollständig, aber homöomorph zum
offenen Intervall , das nicht vollständig ist
(ein Homöomorphismus von (0,1) nach R ist z.B. ). Ein anderes Beispiel sind die irrationalen
Zahlen, die nicht vollständig sind, aber homöomorph zum Raum der natürlichen
Zahlenfolgen NN (ein Spezialfall eines Beispiels von oben).
In der Topologie betrachtet man topologisch vollständige
(oder vollständig metrisierbare) Räume,
für die mindestens eine Metrik existiert, die die vorhandene Topologie
erzeugt. Topologisch vollständige Räume können charakterisiert werden
als diejenigen Räume, die sich darstellen lassen als Durchschnitt
abzählbar vieler offener Teilmengen eines vollständigen metrischen Raums.Vervollständigung
und in M definieren wir
ihren Abstand durchTopologisch vollständige Räume