Konvergenz (Mathematik)
Unter Konvergenz versteht man in der Mathematik die Existenz eines Grenzwertes. Mathematisch exakter formuliert bedeutet dies:
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2 Beispiele 3 Konvergenzkriterien |
Sei (X, d) ein metrischer Raum. Eine Folge (xi) in X heißt konvergent gegen a wenn gilt:
Definition
(Sprich: Es gibt für jedes beliebige (noch so kleine) ε einen Index N, derart, dass für alle n > N (alle weiteren Folgenglieder) gilt d(a, xn) < ε (in den reellen Zahlen also |xn - a| < ε))
a heißt Grenzwert (oder Limes) der Folge und man schreibt.
Bestimmte Divergenz gegen (bzw. ) liegt vor, wenn die xi jede reelle Zahl irgendwann überschreiten und dann darüber bleiben (bzw. jede Zahl unterschreiten). Man schreibt dann
Unbestimmte Divergenz liegt vor, wenn die Folge nicht das eben beschriebene Verhalten hat.
In den reellen Zahlen:
Beispiele
In den rationalen Zahlen sind (1/n) und (c) für eine feste rationale Zahl c konvergent; die Dezimalbruchentwicklung von √2 konvergiert aber nicht, da kein rationaler Grenzwert existiert. Sie ist jedoch eine Cauchy-Folge.
Da man häufig die Konvergenz einer unendlichen Reihe nicht direkt mit der obigen Definition zeigen kann, gibt es einige so genannte Konvergenzkriterien.
Konvergenzkriterien