Unendliche Reihe
In der Mathematik ist eine unendliche Reihe eine unendliche Folge von Partialsummen der Form . Eine solche Folge kann einen endlichen Grenzwert haben, man sagt sie konvergiert, oder nicht, dann divergiert sie. Dass unendliche Reihen konvergieren können, löste einige der Paradoxa von Zenon. Jede der Partialsummen ist eine endliche Reihe.Eine der einfachsten konvergenten unendlichen Reihen ist
Diese Reihe ist eine spezielle geometrische Reihe und wird mathematisch üblicherweise als
Table of contents |
2 Potenzreihen 3 Fourierreihen 4 Literatur |
Eine gegebene unendliche Reihe
Konvergenz
mit reellen (oder komplexen) Zahlen an konvergiert nach S, wenn der Grenzwert
Unabhängig von der Konvergenz setzt man oft
Im Folgenden seien die Zahlen an stets reelle oder komplexe Zahlen, und die Reihe S definiert als
Konvergenzkriterien
Notwendige Bedingung
Wenn die Reihe S konvergiert, dann konvergiert die Folge (an) der Summanden nach 0 für n->∞. Die Umkehrung ist nicht allgemeingültig (ein Gegenbeispiel ist die harmonische Reihe).
Majorantenkriterium
Wenn alle Glieder an der Reihe S nichtnegative reelle Zahlen sind, S konvergiert und für alle n gilt
- an ≥ |bn|
Minorantenkriterium
Wenn alle Glieder an der Reihe S nichtnegative reelle Zahlen sind, S divergiert und für alle n gilt
- an ≤ bn
Wenn eine Konstante C < 1 und ein Index N existiert, sodass für alle n ≥ N gilt
Wurzelkriterium
Wenn eine Konstante C < 1 und ein Index N existiert, sodass für alle n ≥ N gilt
Integralkriterium
Ist f: [1, ∞) -> [0, ∞) eine nichtnegative, monoton fallende Funktion mit
- f(n) = an für alle n,
Leibniz-Kriterium
Eine Reihe der Form
Eine geometrische Reihe
Beispiele
konvergiert genau dann, wenn |z| < 1.
Die Reihe
Die Teleskopreihe
Einige wichtige Funktionen können als Taylorreihen dargestellt werden. Diese sind bestimmte unendliche Reihen, in denen Potenzen einer unabhängigen Variable vorkommen. Solche Reihen werden allgemein Potenzreihen genannt.
Als Fourierreihe einer Funktion bezeichnet man ihre Entwicklung als Summe von trigonometrischen Funktionen.
K. Knopp Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen, Springer, 1996 (Neuauflage)Potenzreihen
Fourierreihen
Literatur