Gruppenaxiome
Die algebraischen Strukturen Gruppoid, Halbgruppe, Monoid, Gruppe, Abelsche Gruppe bilden eine Hierarchie, die sich danach richtet, welche der folgenden Gruppenaxiome erfüllt sind:In der Menge M kann bezüglich der Verknüpfung ◊ gelten:
- (E) Existenz und Eindeutigkeit: Für alle a, b aus M gilt: a◊b ist definiert und ist Element von M.
- (A): Assoziativgesetz: Für a, b, c aus M gilt: (a◊b)◊c = a◊(b◊c).
- (N) Existenz eines neutralen Elements: M enthält ein e, mit dem für alle a aus M gilt: a◊e = e◊a = a.
- (I) Existenz des inversen Elements: Zu jedem a aus M gibt es ein a-1 aus M, mit dem gilt: a◊a-1 = a-1◊a = e.
- (K) Kommutativgesetz: Für a, b aus M gilt: a◊b = b◊a.