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Ringtheorie



Ring
berührt die Spezialgebiete
ist Spezialfall von
umfasst als Spezialfälle

Die Ringtheorie ist ein Teilgebiet der Algebra, die sich mit den Eigenschaften von Ringen beschäftigt. Ein Ring ist eine algebraische Struktur, in der, ähnlich wie in den ganzen Zahlen , Addition und Multiplikation definiert sind und eine allgemeine Subtraktion als Umkehr der Addition möglich ist.

Table of contents
1 Definition (Ring)
2 Eigenschaften
3 Arten von Ringen

Definition (Ring)

Formal definiert ist ein Ring eine Menge

mit zwei darauf definierten zweistelligen Verknüpfungen, bezeichnet als Addition () und Multiplikation (). Bezüglich der Addition ist  eine abelsche Gruppe, deren neutrales Element 0 genannt wird. Die Multiplikation ist assoziativ. Addition und Multiplikation sind durch das Distributivgesetz verknüpft, das heißt:

Für alle Elemente aus der Menge gilt:


Die allgemeine Durchführbarkeit der Subtraktion ergibt sich aus den Gruppenaxiomen der Addition.

Eigenschaften

Jeder Ring R ist ein Modul über sich selbst (mit sich selbst als zugrundeliegendem Ring). In diesem Fall sind die Ideale im Ring R gerade die Untermoduln des Moduls R.

Arten von Ringen

Ist die Multiplikation kommutativ, spricht man von einem kommutativen Ring.

Gibt es bezüglich der Multiplikation ein neutrales Element, so wird dies normalerweise als 1 bezeichnet, man hat dann einen Ring mit 1 oder unitären Ring.

Ist ein Ring mit und gibt es zudem für alle ein multiplikatives Inverses, so heißt Schiefkörper, ist der Schiefkörper zudem noch kommutativ, nennt man ihn einen Körper.

Gibt es in keine von 0 verschiedenen Elemente , so dass , dann heißt nullteilerfrei.

Ist ein nullteilerfreier kommutativer Ring mit , dann nennt man Integritätsring.


siehe auch Hierarchie mathematischer Strukturen




     
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