Algebraische Struktur
In der abstrakten Algebra ist eine Algebraische Struktur oder Algebra eine Menge mit einer oder mehreren Verknüpfungen, die bestimmte Axiome erfüllen. Falls es keine Missverständnisse hervorruft, wird normalerweise die algebraische Struktur mit der Menge identifiziert. Zum Beispiel wird die Gruppe (G,*,1) üblicherweise einfach als Gruppe G bezeichnet.
Table of contents |
2 Arten von Algebraischen Strukturen 3 Eigenschaften |
Seien m, n aus N0 (natürliche Zahlen mit 0) und eine nichtleere Menge A gegeben. Falls in A innere Verknüpfungen und äußere Verknüpfungen mit einem Operatorenbereich gegeben sind, so nennt man das n+m+2-Tupel
Ist n = 0 so schreibt man kürzer
Zusätzlich fordert man für eine algebraische Struktur noch, dass die Verknüpfungen bestimmte, Axiome genannte Bedingungen erfüllen (z.B. spricht man von "Gruppenaxiomen").
In der folgenden Liste werden alle (2-stelligen) Verknüpfungen, neutrale Elemente (= 0-stellige Verknüpfungen), Inversenabbildungen (= 1-stellige Verknüpfungen) und Operatorbereiche angegeben.
Im normalen Gebrauch gibt man dagegen für algebraische Strukturen nur die zweistelligen Verknüpfungen und die Operatorbereiche an (manchmal noch die neutralen Elemente), für alle anderen gibt es meist Standardnotationen.
Eine nicht vollständige Liste verschiedener algebraischer Strukturen:
Für eine diagrammatische Darstellung der besonders wichtigen algebraischen Strukturen Halbgruppe, Gruppe, Ring, Schiefkörper, Körper und Vektorraum siehe Algebraische Strukturen (bildliche Übersicht).
Aussagen, die auf alle algebraischen Strukturen zutreffen, werden in der universellen Algebra betrachtet.
Algebraische Strukturen können gleichzeitig auch nicht-algebraische Strukturen sein, wie z.B. topologische Räume. Eine topologische Gruppe ist ein topologischer Raum mit einer Gruppenstruktur, so dass die Operationen Multiplikation und Inversenbildung stetig sind. Eine topologische Gruppe hat sowohl eine topologische, als auch eine algebraische Struktur. Andere häufige Beispiele sind topologische Vektorräume und Lie-Gruppen.
Jede algebraische Struktur hat ihren eigenen Homomorphismus-Begriff. Ein Homomorphismus ist dabei stets eine Funktion zwischen gleichartigen Strukturen, die mit allen Verknüpfungen vertauschbar ist.
In diesem Sinne definiert jede algebraische Struktur eine Kategorie.
Noch zu übersetzen
Definition
eine algebraische Struktur oder kurz Algebra.
Das Tripel heißt der Typ von A. Für n = 0 schreibt man kürzer .Arten von Algebraischen Strukturen
Eigenschaften
For example, the category of groups has all groups as objects and all group homomorphisms as morphisms.
This category, being a concrete category, may be regarded as a category of sets with extra structure in the category-theoretic sense.
Similarly, the category of topological groups (with continuous group homomorphisms as morphisms) is a category of topological spaces with extra structure.