Ideal (Ringtheorie)
In der abstrakten Algebra ist ein Ideal eines Ringes R eine Teilmenge I, die abgeschlossen bezüglich R-Linearkombinationen ist.Die Bezeichnung "Ideal" ist abgeleitet aus dem Begriff "ideale Zahl": Ideale wurden als Verallgemeinerung von Zahlen angesehen. Mehr dazu im Abschnitt "Ideale Zahlen".
Table of contents |
2 Beispiele 3 Eigenschaften 4 Arten von Idealen 5 Faktorringe und Kerne 6 Verknüpfung von Idealen 7 "Ideale Zahlen" |
Um auch für nicht-Kommutative Ringe geeignete Begriffe zu haben, unterscheiden wir zwischen Linksidealen, Rechtsidealen und beidseitigen Idealen.
Eine Teilmenge I eines Ringes R heißt Linksideal, wenn
Ist der Ring kommutativ, dann fallen diese drei Begriffe zusammen. In einem nichtkommutativen Ring können sie sich aber unterscheiden.
Da ein Ideal I die 0 enthält, ist es nichtleer. Tatsächlich kann man Bedingung 1 in die Forderung umwandeln, dass I nicht leer ist.
Jedes einseitige Ideal ist eine Untergruppe der additiven Gruppe (R, +). Die Umkehrung gilt nicht, z.B. ist Z eine additive Untergruppe von R, aber kein Ideal.
Jedes beidseitige Ideal ist ein Unterring von R. Auch hier gilt die Umkehrung nicht.
Der Ring R kann als Linksmodul über R aufgefasst werden, und die Linksideale in R sind dann genau die Untermoduln des Moduls R. Analog sind die Rechtsideale genau die Untermoduln des R-Rechtsmoduls R und die beidseitigen Ideale genau die Untermoduln des R-Bimoduls R. Ist der Ring R kommutativ, dann fallen diese drei Modul-Typen zusammen, genau wie die drei Ideal-Typen.
Die ersten beiden genannten Beispiele sind Hauptideale. Das von einem Element a erzeugte Haupt(-links-)ideal ist Ra := {ra : r in R}. Das rechtsseitige Hauptideal aR ist analog definiert. Ist der Ring kommutativ, stimmen Ra und aR überein (und bilden ein beidseitiges Ideal); in dem Fall schreibt man das Hauptideal oft als <a> oder (a).
Ein Ideal I heißt echtes Ideal, wenn es nicht ganz R ist; dies ist genau dann der Fall, wenn das Einselement 1 nicht in I liegt.
Ein Ideal I heißt maximales Ideal, wenn es das einzige echte Ideal ist, in dem es enthalten ist, d.h. wenn gilt
Ein echtes Ideal heißt Primideal, wenn es folgende Eigenschaft hat: Für alle a und b aus R mit ab in I gilt, dass a in I oder b in I liegt (oder beide). Jedes maximale Ideal ist prim.
Ideale sind wichtig, weil sie als Kerne von Ringhomomorphismen auftreten und die Definition von Faktorringen ermöglichen.
Ein Ringhomomorphismus f vom Ring R in den Ring S ist eine Funktion mit
Startet man umgekehrt mit einem beidseitigen Ideal I von R, dann kann man den Faktorring R/I (sprich: "R modulo I") definieren, dessen Elemente die Form
Ist der Ring R kommutativ und I ein Primideal, dann ist R/I ein Integritätsring, ist I ein maximales Ideal, dann ist R/I sogar ein Körper.
Die extremsten Beispiele von Faktorringen eines Ringes R entstehen durch Herausteilen der Ideale {0} oder R. Der Faktorring R/{0} ist isomorph zu R, und R/R ist der triviale Ring {0}.
Die Summe zweier Ideale I und J ist definiert als die Menge aller Summen mit Summanden aus I und J:
Das Produkt zweier Ideale I und J ist definiert als das von der Menge aller Produkte aus I und J erzeugte Ideal:
Mit den Verknüpfungen Summe und Durchschnitt bildet die Menge aller Ideale eines Ringes einen Verband.
Einige wichtige Eigenschaften dieser Verknüpfungen werden in den Noetherschen Isomorphiesätzen zusammengefasst.
Die Bezeichnung "Ideal" ist eine Ableitung von "ideale Zahl". Ideale wurden als Verallgemeinerung von Zahlen angesehen. In den ganzen Zahlen Z kann jedes Ideal mit einer (bis auf das Vorzeichen eindeutig bestimmten) Zahl identifiziert werden. Zahlen und Ideale sind in Z also fast identisch (wie in jedem Hauptidealring), und bei Untersuchungen der Teilbarkeit entfällt auch dieser Unterschied. In anderen Ringen verallgemeinern Ideale bestimmte Eigenschaften von Zahlen. Zum Beispiel untersucht man Primideale anstelle von Primelementen, definiert teilerfremde Ideale und beweist eine Version des chinesischen Restsatzes für Ideale. In bestimmten Ringen, die in der Zahlentheorie wichtig sind, den so genannten Dedekindringen, erhält man sogar eine Version des Fundamentalsatzes der Arithmetik: In diesen Ringen kann jedes vom Nullideal verschiedene Ideal eindeutig als Produkt von Primidealen geschrieben werden.
Definition
Eine Teilmenge I eines Ringes R heißt Rechtsideal, wenn neben 1 und 2 auch gilt
Eine Teilmenge I eines Ringes R heißt beidseitiges Ideal, wenn sie Linksideal und Rechtsideal ist, also 1, 2, 3L und 3R erfüllt. Der Ausdruck Ideal bezeichnet meist ein beidseitiges Ideal.Beispiele
Eigenschaften
Arten von Idealen
Mit Hilfe des Lemma von Zorn kann gezeigt werden, dass jedes echte Ideal eines Rings mit 1 in einem maximalen Ideal enthalten ist. Insbesondere besitzt jeder Ring mit 1 ein maximales Ideal.Faktorringe und Kerne
Der Kern von f ist definiert als
Der Kern ist stets ein beidseitiges Ideal von R.
für ein a aus R haben. Die Abbildung
ist ein surjektiver Ringhomomorphismus, dessen Kern genau das Ideal I ist. Damit sind die Ideale eines Rings R genau die Kerne von Ringhomomorphismen von R.Verknüpfung von Idealen
Ist A eine Teilmenge des Rings R, dann bezeichnet man mit <A> oder (A) das kleinste Ideal in R, das A enthält und nennt es das von A erzeugte Ideal. Es besteht als allen endlichen Summen der Form
wobei die ri und si in R und die ai in A liegen. Das von a erzeugte Hauptideal ist der Spezialfall einer einelementigen Menge A = {a}.
Die Menge aller Produkte ist im allgemeinen kein Ideal."Ideale Zahlen"