Monoid
Monoid (Axiome EAN) |
berührt die Spezialgebiete |
ist Spezialfall von |
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umfasst als Spezialfälle |
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In der abstrakten Algebra ist ein Monoid ein Tripel aus einer Menge M, einem binären Operator * auf M und einem ausgezeichneten Element e aus M, geschrieben als (M, *, e), mit den folgenden Eigenschaften:
1. Abgeschlossenheit von M bezüglich des Operators:
Oft wird ein Monoid auch lediglich als Paar geschrieben, ohne explizit das neutrale Element mit aufzuführen, also in der Form (M, *). Das heißt aber nicht, dass ein neutrales Element nicht existiert.
Teil 3. der Definition rechtfertigt das Weglassen von Klammern: Da * ein binärer Operator ist, darf streng genommen "a * b * c" nicht geschrieben werden. Weil aber wegen der Assoziativität keine Verwechslungsgefahr besteht (egal welchen Teilausdruck man zuerst bestimmt, das Ergebnis ist dasselbe), können Klammern nach evtl. Vereinbarung weggelassen werden.
Ein Beispiel für einen Monoid ist die Menge der natürlichen Zahlen mit der Addition (im folgenden gilt die 0 als natürliche Zahl):
Beispiele und Gegenbeispiele für Monoide:
ist kein Monoid, weil die Abgeschlossenheit nicht erfüllt ist: 1-5=-4 ist keine natürliche Zahl | |
ist kein Monoid, da zwar die Abgeschlossenheit erfüllt ist, aber die Minus-Operation nicht assoziativ ist | |
ist ein Monoid | |
ist ein Monoid | |
ist kein Monoid, da das neutrale Element der normalen Zahlenmultiplikation die 1 ist und nicht die 0. | |
ist ein Monoid | |
ist ein nichtkommutativer Monoid. Dabei ist die Menge der n×n-Matrizen und E die Einheitsmatrix. | |
ist kein Monoid da es gibt für die gilt und weil kein neutrales Element bzgl. des Kreuzproduktes ist. | |
ist ein Monoid | |
ist ein Monoid | |
ist kein Monoid wegen und weil die Abgeschlossenheit nicht erfüllt ist. | |
ist ein Monoid | |
ist ein Monoid | |
ist ein Monoid | |
ist ein Monoid | |
ist ein Monoid | |
ist ein Monoid | |
ist ein Monoid | |
ist kein Monoid | |
jede Gruppe ist ein Monoid | |
... | (weitere Beispiele) |
Es gibt eine sehr enge Verbindung zwischen der Theorie endlicher Monoide und der Automatentheorie. Daher spielen Monoide unter anderem auf dem Gebiet der theoretischen Informatik eine bedeutende Rolle.
siehe auch: Hierarchie mathematischer Strukturen, Gruppentheorie