Gruppenhomomorphismus
In der Gruppentheorie betrachtet man spezielle Abbildungen zwischen Gruppen, die man Gruppenhomomorphismen nennt. Ein Gruppenhomomorphismus ist eine strukturerhaltende Abbildung zwischen Gruppen, und damit ein spezieller Homomorphismus.
Table of contents |
2 Bild und Kern 3 Beispiele 4 Verkettung von Gruppenhomomorphismen 5 Iso-, Endo-, Automorphismus 6 Homomorphismen zwischen abelschen Gruppen |
Gegeben seien zwei Gruppen (G, *) und (H, ·). Eine Funktion f: G → H heißt Gruppenhomomorphismus, wenn für alle Elemente x, y von G gilt:
Aus dieser Definition folgt, dass ein Gruppenhomomorphismus das neutrale Element eG von G auf das neutrale Element eH von H abbildet, und dass er Inverse auf Inverse abbildet:
Als Bild (engl. image) des Gruppenhomomorphismus f: G → H bezeichnet man die Menge aller Bilder von G unter f
Definition
Diese Gleichung liest man meist als "Das Bild eines Produkts ist das Produkt der Bilder". Sie besagt, dass ein Homomorphismus strukturerhaltend ist: Es ist egal, ob man erst zwei Elemente verknüpft, und das Ergebnis abbildet, oder erst die zwei Elemente abbildet, und dann die Bilder verknüpft.Bild und Kern
der Kern (engl. kernel) von f ist das Urbild des neutralen Elements eH
- f -1(eH) = ker(f) = { u in G : f(u) = eH }.
Genau dann, wenn ker(f) = {eG} gilt (der Kern von f also nur das neutrale Element von G enthält, das immer im Kern liegt), ist f injektiv. Ein injektiver Gruppenhomomorphismus wird auch Gruppen-Monomorphismus genannt.
Sind h: G → H und k: H → K zwei Gruppenhomomorphismen, dann ist ihre Komposition k o h: G → K ebenfalls ein Gruppenhomomorphismus.
Die Klasse aller Gruppen bildet also mit den Gruppenhomomorphismen eine Kategorie.
Ist ein Gruppenhomomorphismus h: G → H bijektiv, dann ist auch seine Umkehrfunktion ein Gruppenhomomorphismus, und h heißt dann Gruppenisomorphismus (siehe Isomorphismus), die Gruppen G und H heißen dann zueinander isomorph: Sie unterscheiden sich nur in der Bezeichnung ihrer Elemente und stimmen für fast alle Zwecke überein.
Ist h: G → G ein Gruppenhomomorphismus einer Gruppe in sich selbst, dann heißt er Endomorphismus. Ist er darüberhinaus bijektiv, dann heißt er Automorphismus. Die Menge aller Endomorphismen von G bildet mit der Komposition einen Monoid. Die Menge aller Automorphismen einer Gruppe G bildet mit der Komposition eine Gruppe, die Automorphismengruppe Aut(G) von G.
Die Automorphismengruppe von (Z, +) enthält nur zwei Elemente: Die Identität und die Multiplikation mit -1; sie ist also isomorph zur zyklischen Gruppe C2.
In der additiven Gruppe von Q ist jede lineare Abbildung f(x) = mx mit m ≠ 0 ein Automorphismus, es gibt jedoch noch viele andere.
Sind G und H abelsche (d.h. kommutative) Gruppen, dann bildet die Menge Hom(G, H) aller Gruppenhomomorphismen von G nach H selbst eine Gruppe, mit der "punktweisen Addition":
Die Menge der Endomorphismen einer abelschen Gruppe G bildet mit der Addition eine Gruppe, die als End(G) bezeichnet wird.
Die Addition von Homomorphismen ist in folgendem Sinne verträglich mit der Komposition: Sind f in Hom(K, G), h, k in Hom(G, H), g in Hom(H, L), dann gilt
Zum Beispiel ist der Endomorphismenring der Kleinschen Vierergruppe isomorph zum Ring der 2×2-Matrizen über dem Restklassenkörper Z/2Z.
Beispiele
Verkettung von Gruppenhomomorphismen
Iso-, Endo-, Automorphismus
Homomorphismen zwischen abelschen Gruppen
Die Kommutativität von H benötigt man, damit h + k wieder ein Gruppenhomomorphismus ist.
Dies zeigt, dass die Endomorphismengruppe End(G) einer abelschen Gruppe sogar einen Ring bildet, den Endomorphismenring von G.