Untergruppe
Dieser Artikel enthält mathematische Symbole. Diese werden in der Tabelle mit mathematischen Symbolen erläutert.In der Gruppentheorie der Mathematik ist eine Untergruppe eine nichtleere Teilmenge einer Gruppe , die bezĂĽglich selbst wieder eine Gruppe bildet.
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2 Beispiele 3 Eigenschaften |
Es läßt sich folgendes Untergruppenkriterium formulieren:
Eine nichtleere Teilmenge von ist eine Untergruppe von , genau dann wenn gilt:
Eine weitere äquivalente Forderung ist, dass eine nichtleere Teilmenge von ist mit:
Von einer Gruppe sind stets selbst sowie die einelementige Gruppe Untergruppen. Diese werden die trivialen Untergruppen von genannt. Im Fall sind diese beiden Untergruppen gleich und stellen die einzige Untergruppe dar. Alle anderen Gruppen haben mindestens zwei Untergruppen, nämlich die beiden voneinander verschiedenen trivialen.
Die Menge aller Untergruppen einer Gruppe bildet einen vollständigen, distristributiven Verband, den Untergruppenverband. Die beiden trivialen Untergruppen und entsprechen dem Null- bzw. dem Einselement des Verbandes.
Satz von Lagrange: Die Kardinalität jeder Untergruppe einer endlichen Gruppe teilt die Kardinalität der Gruppe .
Ist beispielsweise eine Primzahl, so kann die Kardinalität einer Untergruppe nur 1 oder betragen. Also sind in diesem Falle die trivialen Untergruppen die einzigen Untergruppen von .
Untergruppen, die unter der Konjugation fest bleiben, heiĂźen Normalteiler. Sie dienen der Erzeugung von Faktorgruppen.
Ist Untergruppe einer Gruppe , die ihrerseits Untergruppe von ist, dann ist auch Untergruppe von . (Die entsprechende Aussage fĂĽr Normalteiler gilt nicht.)
Ă„quivalente Definitionen
Aus diesen beiden Bedingungen folgt insbesondere auch, dass das neutrale Element von in jeder Untergruppe enthalten sein muss.
Je nach Kompliziertheit der VerknĂĽpfung ist es einfacher, die beiden Bedingungen der ersten Formulierung oder die Bedingung der zweiten Formulierung zu beweisen.Beispiele
Eigenschaften