Konjugation (Mathematik)
Table of contents |
2 Konjugation bei Gruppen |
Konjugation bei Körpererweiterungen
Komplexe Zahl und ihre Konjugierte |
Die zur komplexen Zahl konjugierte Zahl ist . Sie hat also denselben Realteil, aber den negativen Imaginärteil. Z.B. ist die zu konjugierte Zahl, und die Konjugierte von ist .
Die Abbildung heißt komplexe Konjugation. Die komplex Konjugierte von schreibt man meist als . Die Konjugation ist mit der Addition und Multiplikation verträglich, d.h. es ist egal, ob man erst addiert (multipliziert) und dann konjugiert oder umgekehrt. Mit Hilfe der Konjugation lässt sich leicht eine Formel für die Division komplexer Zahlen angeben: Indem man den Quotienten zweier komplexer Zahlen mit dem Konjugierten des Nenners erweitert, macht man ihn reell:
In Polarkoordinaten ist die Konjugierte der Zahl die Zahl . Sie hat also den gleichen Betrag wie und den negativen Winkel von .
Es gelten folgende Rechenregeln:
In der abstrakten Algebra wird dieser Begriff folgendermaßen erweitert:
Zwei über K algebraische Elemente einer Körpererweiterung L/K heißen zueinander konjugiert, wenn sie dasselbe Minimalpolynom über K haben. Die Nullstellen des Minimalpolynoms von a in L heißen "Konjugierte von a (in L)". Jeder K-Automorphismus von L (der K punktweise festhält) bildet a auf eine seiner Konjugierten ab.
In einer Gruppe (G, *) heißen die Elemente und zueinander konjugiert, wenn es ein Gruppenelement gibt, so dass ist.
Die Abbildung
Die Gruppe G operiert auf sich durch die Konjugation:
Verallgemeinerung
Konjugation bei Gruppen
heißt Konjugation mit c. Sie ist ein Automorphismus der Gruppe.
Die Abbildung T mit T(s) = fs bildet in die Automorphismengruppe Aut(G) ab. Die Automorphismen fs mit fs(t) = s-1*t*s heißen innere Automorphismen, die Menge aller inneren Automorphismen bezeichnet man mit Inn(G).
Der Kern von T ist
- Z(G) = {s in G | s*t = t*s für alle t in G }
Die Fixgruppe Gx = {s in G | s-1*x*s = x} eines Elementes x heißt Zentralisator von x, die Bahn G.x = {s-1*x*s | x in G} heißt Konjugationsklasse von x. Elemente in derselben Konjugationsklasse sind zueinander konjugiert.