Operation (Mathematik)
In der Mathematik tritt der Begriff der Operation bei der Betrachtung von Gruppen und ihrem Zusammenspiel mit anderen Strukturen auf.
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2 Beispiele
2.1 Linkstranslation
3 Eigenschaften2.2 Konjugation 2.3 Automorphismengruppe einer Körpererweiterung 2.4 Andere Beispiele 4 > s-1*t.x = x |
Man sagt, eine Gruppe (G, *, e) operiert auf einer Menge M, wenn es eine Funktion "." von G × M nach M gibt mit den Eigenschaften:
Definition
Operiert G auf M, dann gibt es einen Homomorphismus T von G in die symmetrische Gruppe S(M) von M, dabei ist T gegeben durch T(s)(x) = s.x.
Operiert G auf M, dann nennt man für ein x aus M die Teilmenge G.x von M, gegeben durch
- G.x = {s.x | s in G}
- Gx = {s in G | s.x = x}
Man nennt die Mächtigkeit |G.x| der Bahn von x die Länge der Bahn von x.
Besteht M nur aus einer einzigen Bahn, d.h. ist G.x = M für jedes x, dann heißt die Operation transitiv. Dies ist genau dann der Fall, wenn zu jedem Paar x, y aus M ein s in G existiert, so dass s.x = y ist.
(Einiges davon könnte z.B. in einen Artikel Faktorgruppe.)
Ein Beispiel einer Operation ist die Linkstranslation (Linksmultiplikation) innerhalb einer Gruppe (G, *, e). Definiert man s.t := ls(t) := s*t, dann operiert G auf sich selbst, denn es ist e.s = e*s = s und (s*t).x = (s*t)*x = s*(t*x) = s.(t.x).
T ist die Abbildung, die jedem Element s die Linkstranslation mit s, ls: G -> G, zuordnet. Diese Zuordnung T ist injektiv, man erhält hieraus den
Betrachtet man eine Untergruppe H von G, dann operiert auch H durch die Linkstranslation auf G. Die Bahn Hs:=H.x eines Elements s von G heißt Rechtsnebenklasse von s. Die Menge aller Rechtsnebenklassen bezeichnet man mit
Beispiele
Linkstranslation
Analoges gilt auch für die Rechtstranslation s.x := x*s.
ihre Mächtigkeit mit
Da die Linkstranslation eine Bijektion ist, gilt |Hs| = |H| für jedes s aus G. Daraus folgt mit der Bahnengleichung (s.u.) der
Betrachtet man stattdessen die Rechtstranslation von H auf G, dann nennt man die Bahn sH:=H.x von s seine Linksnebenklasse. Man beachte, dass im allgemeinen nicht sH = Hs sein muss. Die Menge aller Linksnebenklassen bezeichnet man mit G/H.
Man kann zeigen, dass es genauso viele Linksnebenklassen wie Rechtsnebenklassen gibt, dass also
Eine Untergruppe H von G heißt Normalteiler, wenn sH = Hs für alle s aus G gilt. Ist H ein Normalteiler von G, dann wird durch
- sH*tH := (s*t)H
Eine Gruppe G operiert auf sich durch die Konjugation s.t := fs(t) := s-1*t*s.
Die Automorphismen fs(t) = s-1*t*s heißen innere Automorphismen, die Menge aller inneren Automorphismen bezeichnet man mit Inn(G).
Ist L/K eine Körpererweiterung, dann bezeichnet man mit Aut(L/K) die Gruppe aller Automorphismen von L, die K punktweise fest lassen. Diese Gruppe operiert auf L durch f.x := f(x). Jede Bahn besteht aus den in L liegenden Nullstellen eines Polynoms mit Koeffizienten in K, das über K irreduzibel ist.
Elemente derselben Bahn nennt man hier konjugiert über K, sie haben dasselbe Minimalpolynom über K.
Man kann die skalare Multiplikation eines Vektorraums V mit seinem Grundkörper K als Operation auffassen: x.v := x*v. Dabei ist die multiplikative Gruppe K* die Gruppe G und V die Menge M.
Operiert G auf M, dann bilden die Bahnen eine Zerlegung von M, das heißt: Je zwei Bahnen sind disjunkt oder gleich, und jedes Element von M liegt in einer Bahn. Denn man kann die folgende Äquivalenzrelation "~" definieren:
Aus dieser Bijektion folgt für eine endliche Gruppe G
Konjugation
Automorphismengruppe einer Körpererweiterung
Andere Beispiele
Eigenschaften
Die Äquivalenzklassen dieser Relation sind genau die Bahnen.
Daraus folgt die
Ist x aus M, dann ist die Abbildung i: G/Gx -> G.x, i(s*Gx) = s.x, eine Bijektion.
Denn ist s*Gx = t*Gx, dann ist
p:=s-1*t in Gx, also p.x = x und t.x = (s*p).x = s.x. Also ist i wohldefiniert.
Offenbar ist i surjektiv (denn G.x besteht gerade aus allen s.x). i ist auch injektiv, denn es gilt: s.x = t.x > s-1*t.x = x
> s-1*t in Gx ==> s*Gx = t*Gx.
Insbesondere ist dann die Länge jeder Bahn ein Teiler der Ordnung von G.