Minimalpolynom
Der Begriff Minimalpolynom hat in der Mathematik zwei Bedeutungen: eine in der linearen Algebra und eine in der Körpertheorie.
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2 Körpertheorie |
Das Minimalpolynom p einer quadratischen n×n-Matrix A über einem Körper K ist das normierte Polynom kleinsten Grades mit Koeffizienten in K, so dass p(A) = 0 (die Nullmatrix) ist.
Folgende Aussagen für λ aus K sind äquivalent:
lineare Algebra
Die Vielfachheit einer Nullstelle λ von p ist gleich der geometrischen Vielfachheit des Eigenwerts λ von A und ist die Größe des größten zu λ gehörenden Jordanblocks der Jordanschen Normalform von A.
In der Körpertheorie ist das Minimalpolynom ein Begriff, der bei einerKörpererweiterung auftritt.
Sei L/K eine Körpererweiterung und x ein Element von L.
Ein Minimalpolynom m = minpolK(x) von x über K ist definiert als normiertes Polynom kleinsten Grades mit Koeffizienten in K, das x als Nullstelle hat.
Falls ein Minimalpolynom von x existiert, ist es eindeutig bestimmt, und das Element x heißt algebraisches Element der Erweiterung L/K oder algebraisch über K. Dies erlaubt es, von dem Minimalpolynom zu sprechen.
Fall kein Minimalpolynom von x existiert, dann heißt x transzendent über K.
Betrachte die Körpererweiterung Q(i)/Q mit der imaginären Einheit i.
Das Minimalpolynom von i ist , denn es hat i als Nullstelle, ist normiert und jedes Polynom kleineren Grades wäre linear und hätte nur eine Nullstelle in Q.
Das Polynom ist kein Minimalpolynom irgendeines Elementes irgendeiner Erweiterung, da es sich als darstellen lässt, und für keine seiner Nullstellen ein Polynom kleinsten Grades ist.
Minimalpolynome sind irreduzibel über dem Grundkörper.
Jedes Polynom mit Koeffizienten im Grundkörper, das ein algebraisches Element x als Nullstelle hat, ist ein (Polynom-)Vielfaches des Minimalpolynoms von x.
Der Grad des Minimalpolynoms von x ist gleich dem Grad der einfachen Erweiterung K(x)/K.
Siehe auch: ZerfällungskörperKörpertheorie
Beispiel
Eigenschaften