Körpererweiterung
In der abstrakten Algebra ist ein Oberkörper (oder Erweiterungskörper) des Körpers K ein Körper L, der K als Teilkörper enthält. K heißt dann auch Unterkörper von L. Zum Beispiel ist C ein Erweiterungskörper von R. Das Paar L und K bezeichnet man als Körpererweiterung und schreibt es als L/K ("L über K", aber nicht als Bruch, sondern wirklich mit Schrägstrich) oder auch L:K.
Ein Körper M heißt weiterhin Zwischenkörper der Körpererweiterung L/K, wenn M ein Unterkörper von L ist, also .
Etwas allgemeiner betrachtet man auch den folgenden Fall als Körpererweiterung: Seien K, K' und L Körper, K' Teilkörper von L und K isomorph zu K' . Wenn es nicht zu Missverständnissen führt, identifiziert man K und K' , und fasst so K selbst als Teilkörper von L auf. Dies kommt daher, daß man in der Körpertheorie isomorphe Körper häufig nicht unterscheidet, da sie sich sowieso gleich verhalten.
Sei im folgenden stets L/K eine Körpererweiterung.
Table of contents |
2 algebraisch und transzendent 3 Körperadjunktion 4 Normale Erweiterungen 5 Zerfällungskörper 6 Separabilität 7 K-Automorphismen 8 Galoiserweiterung |
Man kann L als Vektorraum über K auffassen, wobei die Vektoraddition die Körper-Addition in L ist und die Skalarmultiplikation die Körper-Multiplikation von Elementen aus L mit Elementen aus K.
Die Dimension dieses Vektorraums nennt man den Grad der Erweiterung, und schreibt ihn als [L : K]. Die Erweiterung heißt endlich oder unendlich, je nachdem ob der Grad endlich oder unendlich ist.
Zum Beispiel ist [C : R] = 2, also ist die Erweiterung der reellen Zahlen zu den komplexen Zahlen endlich. Im Gegensatz dazu ist [R : Q] = c (die Mächtigkeit des Kontinuums), also ist diese Erweiterung unendlich.
Sind M/L und L/K Körpererweiterungen, dann ist auch M/K eine Körpererweiterung, und es gilt der Gradsatz
Erweiterungsgrad
Dies gilt auch im Falle unendlicher Erweiterungen (als Gleichung von Kardinalzahlen, oder alternativ mit den üblichen Rechenregeln für das Symbol unendlich). L/K heißt dabei eine Teilerweiterung von M/K.
Ein Element von L, das Nullstelle eines Polynoms über K ist, heißt algebraisch über K, das gradkleinste normierte solche Polynom heißt sein Minimalpolynom. Ist es nicht algebraisch, dann heißt es transzendent. Der Fall L = C und K = Q ist dabei besonders wichtig. Siehe dazu algebraische Zahl, transzendente Zahl.
Ist jedes Element von L algebraisch über K, dann heißt L/K algebraische Erweiterung, andernfalls transzendente Erweiterung. Wenn jedes Element von L\\K transzendent ist, dann heißt die Erweiterung rein transzendent.
Man kann zeigen, dass eine Erweiterung genau dann algebraisch ist, wenn sie die Vereinigung aller ihrer endlichen Teilerweiterungen ist. Damit ist jede endliche Erweiterung algebraisch, C/R ist also z.B. algebraisch.
R/Q ist aber transzendent, wenn auch nicht rein transzendent.
Es gibt aber auch unendliche algebraische Erweiterungen, z.B. den algebraischen Abschluss von Q.
Ist V eine Teilmenge von L, dann ist der Körper K(V) ("K adjungiert V") definiert als der kleinste Teilkörper von L, der K und V enthält. Er besteht aus allen Elementen von L, die mit endlich vielen Verknüpfungen +,-,*,/ aus den Elementen von K und V gebildet werden können. Ist L = K(V), dann sagt man, L wird von V erzeugt.
Eine Körpererweiterung K(a)/K, die von einem einzelnen Element erzeugt wird, heißt einfache Erweiterung. Eine einfache Erweiterung ist endlich, wenn sie von einem algebraischen Element erzeugt wird, und rein transzendent, wenn sie von einem transzendenten Element erzeugt wird. Zum Beispiel ist C eine einfache Erweiterung von R, denn C = R(i) mit i2 = -1. Die Erweiterung R/Q kann nicht einfach sein, da sie weder algebraisch noch rein transzendent ist.
Sind K1 und K2 beide Teilkörper von L, dann heißt der kleinste gemeinsame Oberkörper K1(K2) = K2(K1) das Kompositum von K1 und K2.
Sind K1 und K2 beide endlich erweitere Oberkörper von K, dann ist auch K1(K2)/K endlich.
L/K heißt normale Erweiterung, wenn alle Minimalpolynome über K von Elementen aus L in L vollständig in Linearfaktoren zerfallen. Ist a in L und f sein Minimalpolynom über K, dann heißen die Nullstellen von f in L die Konjugierten von a. Sie sind genau die Bilder von a unter K-Automorphismen von L.
Ist L nicht normal über K, dann gibt es jedoch einen Oberkörper von L, der normal über K ist. Er heißt die normale Hülle von L/K.
Ein Polynom f über K heißt separabel, wenn es in seinem Zerfällungskörper nur einfache Nullstellen hat. Es ist genau dann separabel, wenn es teilerfremd zu seiner formalen Ableitung f' ist.
Ist f irreduzibel, dann ist es separabel genau dann wenn f' nicht das Nullpolynom ist.
Es gibt aber auch die abweichende Definition, dass ein Polynom separabel heißt, wenn jeder seiner Primteiler separabel ist. Diese Definition stimmt für irreduzible Polynome mit der obigen überein (insbesondere für Minimalpolynome), für reduzible Polynome unterscheiden sie sich jedoch.
Ein algebraisches Element von L heißt separabel über K, wenn sein Minimalpolynom über K separabel ist. Eine algebraische Erweiterung L/K heißt separable Erweiterung, wenn alle Elemente von L separabel sind.
Ein Körper K, über dem jedes irreduzible Polynom separabel ist, heißt vollkommen. Körper der Charakteristik 0 und endliche Körper sind vollkommen, es gibt aber noch weitere.
Jede algebraische Erweiterung eines vollkommenen Körpers ist separabel.
Die Gruppe aller Automorphismen von L nennt man die Automorphismengruppe von L, Aut(L).
Für jeden Automorphismus s von L definiert man den Fixkörper Fix(s) := {x in L : s(x = x} aller Elemente von L, die von s festgehalten werden. Man rechnet leicht nach, dass das ein Teilkörper von L ist.
Der Fixkörper Fix(G) einer ganzen Gruppe G von Automorphismen in L ist definiert als der Durchschnitt aller Fixkörper der Elemente von G.
Die Automorphismen von L, die mindestens K punktweise fest lassen, bilden eine Untergruppe von Aut(L), die Gruppe der K-Automorphismen von L, bezeichnet als Aut(L/K).
Ist die Erweiterung L/K algebraisch, normal und separabel, dann heißt die Erweiterung galoissch (nach Evariste Galois).
Eine algebraische Erweiterung ist genau dann galoissch, wenn der Fixkörper Fix(Aut(L/K)) der K-Automorphismengruppe gleich K ist.
Man nennt Aut(L/K) in diesem Fall die Galois-Gruppe der Erweiterung und schreibt sie als Gal(L/K).
Ist die Galoisgruppe abelsch, dann heißt die Körpererweiterung abelsche Erweiterung, ist sie zyklisch, dann heißt die Erweiterung zyklisch. Zum Beispiel ist C/R abelsch und zyklisch, denn ihre Galoisgruppe ist zweielementig und besteht aus der Identität und der komplexen Konjugation. Die Erweiterung R/Q ist nicht galoissch, denn der einzige Automorphismus von R ist die Identität, und die lässt offensichtlich mehr als nur Q fest.
Für weitere Informationen über Galoiserweiterungen siehe den Artikel Galoistheorie.algebraisch und transzendent
Körperadjunktion
einfache Erweiterung
Kompositum
Normale Erweiterungen
Zerfällungskörper
Der Zerfällungskörper eines Polynoms ist eine spezielle Körpererweiterung.
K sei weiterhin ein Körper, ein nicht konstantes Polynom über K. L/K ist ein Zerfällungskörper von p, wenn alle Wurzeln von p in L liegen und L diesbezüglich minimal ist. Man sagt auch, daß L durch Adjunktion aller Wurzeln von p an K entsteht. Dieser Körper heißt Zerfällungskörper, da p über L in Linearfaktoren zerfällt.Separabilität
Separable Polynome
Separable Erweiterungen
Vollkommene Körper
K-Automorphismen
Galoiserweiterung