Transzendente Zahl
Eine komplexe Zahl heißt transzendent, wenn sie nicht als Lösung einer algebraischen Gleichung beliebigen (endlichen) Grades
für n ≥ 1 mit ganzzahligen Koeffizienten ak auftreten kann, wobei nicht alle ak = 0 sein dürfen. Insbesondere wird an ≠ 0 verlangt. Andernfalls handelt es sich um eine algebraische Zahl. Jede transzendente Zahl ist überdies irrational.
Die Vorstellung der mathematischen Transzendenz kam im Laufe des 18. Jahrhunderts ganz allmählich in den Überlegungen großer Mathematiker wie Gottfried Wilhelm Leibniz (omnem rationem transcendunt) und Leonhard Euler auf, die zwar keine strenge Definition dieses Begriffs besaßen, sich aber trotzdem sicher waren, dass es solche mathematisch "schwer fassbaren" Zahlen geben müsse, von denen Euler schrieb sie "überschreiten [...] die Wirksamkeit algebraischer Methoden". 1748 behauptete Euler sogar in seinem Lehrbuch Introductio in Analysin Infinitorum, dass bei positivem rationalem a≠1 und natürlichem b, das keine Quadratzahl ist, die Zahl nicht nur nicht rational, sondern auch "nicht mehr irrational" sei. Tatsächlich wurde diese "Transzendenzvermutung" 1934 als Spezialfall eines Resultats des russischen Mathematikers Aleksandr Gelfond in ihrer Richtigkeit bestätigt.
Joseph Liouville konnte 1844 als Erster die Existenz transzendenter Zahlen beweisen und war imstande, mittels seiner konstruktiven Beweismethode explizite Beispiele zu liefern. In seiner Arbeit, in der er zeigen konnte, dass für jede rationale Approximation p/q einer algebraischen Zahl eine natürliche Zahl n existiert, so dass
stellte er die nach ihm benannte transzendente Liouville-Konstante
vor.
Im Jahr 1874 konnte Georg Cantor nicht nur abermals die Existenz
von transzendenten Zahlen beweisen, sondern sogar zeigen, dass es "mehr" transzendente als algebraische Zahlen gibt. Im Gegensatz zu Liouville sicherte Cantor aber seine Erkenntnisse durch einen indirekten Beweis. Die mathematisch exakte Formulierung des Begriffs "mehr" war aber sicherlich das wichtigste Ergebnis von Cantors Arbeit, weil es das Wissen über das reelle Zahlensystem revolutionär vertiefte. Allerdings konnten sich seine neuartigen Ideen gegen einflussreiche konservative Kritiker wie Leopold Kronecker lange Zeit nicht durchsetzen. Er bewies, dass die Menge der algebraischen reellen Zahlen (in moderner Sprechweise) abzählbar ist, während die Menge aller reellen Zahlen überabzählbar (unendlich, aber nicht abzählbar) ist.
Daraus folgt auch leicht, dass die Menge aller transzendenten Zahlen
gleichmächtig mit der Menge aller reellen Zahlen (insbesondere: ebenfalls
überabzählbar) ist.
Dieser Sachverhalt lässt sich mengensprachlich folgendermaßen ausdrücken:
Wenn die Menge der transzendenten Zahlen und die Menge der reellen Zahlen bezeichnet, dann gilt:
Hierbei ist das mengentheoretische Symbol für die Mächtigkeit von .
Dieses kuriose Resultat, nämlich dass eine echte Teilmenge von die gleiche Mächtigkeit haben kann wie selbst, konnte Cantor durch die Benutzung von Bijektionen erklären.
Sei z eine algebraische Zahl vom Grad n > 1, die
erfüllt. Weiterhin sei zm = pm/qm eine Folge von rationalen Zahlen mit zm → z für m → ∞.
Dann erhalten wir
Nun teilen wir beide Seiten der Gleichung durch zm - z und benutzen die algebraische Identität
Es ergibt sich also
Da |zm - z| < 1 für ausreichend großes m gilt, können wir folgende grobe (aber vollkommen ausreichende) Abschätzung machen:
M ist eine Konstante, da wir z als feste Zahl angenommen haben. Wenn wir jetzt m so groß wählen, dass in zm = pm/qm der Nenner qm > M ist, erhalten wir die Ungleichungskette
Wenn wir zur Abkürzung p für pm und q für qm schreiben, dann ist
Nun kann die Zahl zm keine Nullstelle des Polynoms f sein, denn sonst könnte man (x - zm) aus f(x) ausklammern. Daraus würde aber im Widerspruch zu unserer Annahme folgen, dass z einer Gleichung genügen würde, deren Grad < n wäre. Daher ist f(zm) ≠ 0. Aber der Zähler von (1) ist eine ganze Zahl, also vom Betrag mindestens gleich 1. Somit ergibt sich durch Kombination von (1) und (2):
Im Kontext allgemeiner Körpererweiterungen L/K betrachtet man ebenfalls Elemente in L, die algebraisch oder transzendent über K sind. Siehe dazu Algebraisch.
Definition
Geschichtliche Entwicklung des Transzendenzbegriffs
Beweis des Liouvilleschen Approximationssatzes
Beispiele für transzendente Zahlen
Verallgemeinerung
Literatur
Bietet einen einführenden Überblick zum Thema "transzendente Zahlen" an.
Ein anspruchvolles Standardwerk, das tiefgreifende Theoreme entwickelt, aber profundes Vorwissen voraussetzt.
Besser lesbar als das Buch von Baker, dennoch ähnlich fundiert.
Enthält eine ausführliche Schritt-für-Schritt-Erläuterung des Lindemannschen Transzendenzbeweises für π.Weblinks