WEB LEXIKON: Ein Blick zurück
Hauptseite | Aktueller Wikipedia-Artikel

Algebraische Zahl



Eine algebraische Zahl ist eine komplexe Zahl x, die Nullstelle eines Polynoms
mit rationalen Koeffizienten ist.

Eine komplexe Zahl, die nicht algebraisch ist, heißt transzendent.

Man kann den Begriff der algebraischen Zahl zu dem des algebraischen Elements erweitern, indem man die Koeffizienten des Polynoms statt aus , aus einem beliebigen Körper entnimmt. Zu anderen Bedeutungen des Wortes algebraisch siehe Algebra. Vergleiche auch das Glossar mathematischer Attribute.

Table of contents
1 Beispiele
2 Eigenschaften
3 Siehe auch

Beispiele

Beispielsweise ist die Wurzel aus 2 eine algebraische Zahl, denn sie ist eine Lösung der Gleichung . Ebenso ist als Lösung von algebraisch.

Gegen Ende des 19. Jahrhunderts wurde bewiesen, dass die Kreiszahl und die Eulersche Zahl nicht algebraisch sind. Von anderen Zahlen, wie zum Beispiel , weiß man bis heute nicht, ob sie algebraisch oder transzendent sind. Siehe dazu den Artikel Transzendente Zahl.

Eigenschaften

Algebraische Zahlen lassen sich, im Gegensatz zu transzendenten Zahlen, als periodische Kettenbrüche darstellen.

Die Menge der algebraischen Zahlen ist abzählbar.

Die Menge der algebraischen Zahlen bildet einen Körper.

Der Körper der algebraischen Zahlen ist algebraisch abgeschlossen, d. h. jedes Polynom mit algebraischen Koeffizienten besitzt nur algebraische Nullstellen. Dieser Körper ist der kleinste algebraisch abgeschlossene Oberkörper von , und ist damit der algebraische Abschluss von .

Oberhalb des Körpers der rationalen Zahlen und unterhalb des Körpers der algebraischen Zahlen befinden sich unendlich viele Zwischenkörper; etwa die Menge aller Zahlen der Form , wobei und rationale Zahlen sind, und die Quadratwurzel einer rationalen Zahl ist. Auch der Körper der mit Zirkel und Lineal aus konstruierbaren Punkte der komplexen Zahlenebene ist ein solcher algebraischer Zwischenkörper.

Im Rahmen der Galoistheorie werden diese Zwischenkörper untersucht, um so tiefe Einblicke über die Lösbarkeit oder Nicht-Lösbarkeit von Gleichungen zu erhalten. Ein Resultat der Galoistheorie ist, dass zwar jede komplexe Zahl algebraisch ist, die man aus rationalen Zahlen durch Verwendung der Grundrechenarten +,-,*,/ und Ziehen n-ter Wurzeln (n eine natürliche Zahl) erhalten kann (man nennt solche Zahlen "durch Radikale darstellbar"), umgekehrt aber algebraische Zahlen existieren, die man nicht in dieser Weise darstellen kann; alle diese Zahlen sind Nullstellen von Polynomen des Grades ≥ 5.

Algebraische Zahlen, die sogar Nullstellen eines normierten Polynoms mit ganzzahligen Koeffizienten sind, heißen algebraische Ganzzahlen. Die algebraischen Ganzzahlen, die rational sind, sind genau die ganzen Zahlen. Die algebraischen Ganzzahlen bilden einen Unterring der algebraischen Zahlen.

Siehe auch

Georgij Feodosewitsch Voronoj




     
Das Web Lexikon "Ein Blick zurück" bietet die Moeglichkeit auf einfache Art und Weise in den "alten" Wikipedia-Beiträgen zu blättern. Das Lexikon spiegelt den Stand der freien Wikipedia-Enzyklopädie vom August 2004 wider. Sie finden hier in rund 120.000 Artikel aus dieser Zeit Informationen, Erklärungen, Definitionen, Empfehlungen, Beschreibungen, Auskünfte und Bilder. Ebenso kommen Begriffserklärung, Zusammenfassung, Theorie, Information, Beschreibung, Erklärung, Definition und Geschichte nicht zu kurz. Ein Lexikon das Auskunft, Bericht, Hinweis, Bedeutung, Bild, Aufklärung, Darstellung und Schilderung zu unterschiedlichsten Themen kompakt auf einer Seite bietet.
Impressum ^ nach oben ^