Eulersche Zahl
Die nach Leonhard Euler benannte Eulersche Zahl e=2,718281828459... ist die Basis des so genannten natürlichen Logarithmus. Sie spielt in der Infinitesimalrechnung (Differential- und Integralrechnung) eine grosse Rolle. Die e-Funktion (Exponentialfunktion) f(x)=ex = e^x (gesprochen e hoch x) bleibt beim Differenzieren unverändert. Die Differenzialgleichung f'(x)=f(x) besitzt f(x)=c*ex als einzige Lösung wobei c eine unbestimmte Konstante ist.Die Zahl e kann unter anderem durch Grenzwertbildung definiert werden. Die zwei bekanntesten Darstellungen dieser transzendenten Zahl lauten:
Da e eine transzendente Zahl ist, ist der entstehende Dezimalbruch unendlich und nicht periodisch.
Es gilt:
- (ex)' = ex (Die Ableitung (von f(x)=ex) ist gleich f(x))
- ei·π = -1 (Dabei ist i die imaginäre Einheit und π die Kreiszahl pi), dies ist die Eulersche Identität
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2 Die ersten 200 Nachkommastellen 3 Anschauliche Interpretationen 4 Weblinks |
weitere Darstellungen für die Eulersche Zahl
Eine eher unübliche aber bemerkenswerte Darstellung der
Eulerschen Zahl ist zum Beispiel die Catalansche Darstellung
Um 1975 entdeckte der Schweizer Felix A. Keller folgende Formel, die gegen e konvergiert (Diese Formel wurde zum ersten Mal 1998 auf Steven Finch's Website http://www.mathsoft.com veröffentlicht und "Keller's Expression" genannt):
Für jede komplexe Zahl z gilt:
Die Kettenbruchentwicklung von e weist folgendes Muster auf, welches sich bis ins unendliche fortsetzt:
Den Grenzwert der ersten Formel kann man folgendermaßen deuten:
Jemand zahlt am 1. Januar einen Euro auf der Bank ein.
Die Bank garantiert ihm eine momentane Verzinsung zu einem Zinssatz von 100%.
Wie groß ist sein Guthaben am 1. Januar des nächsten Jahres?
Nach der Zinseszinsformel ist das Kapital nach n Verzinsungen Kn = K0 * (1+p)n,
wobei K0 das Startkapital, p der Zinssatz, und n die Anzahl der Verzinsungen sind.
In unseren Beispiel sind K0 = 1 EUR, p = 100% = 1, wenn der Zinszuschlag jährlich erfolgt, oder p = 100% / n = 1/n, wenn der Zinszuschlag n mal im Jahr erfolgt.
Bei jährlichem Zuschlag wäre K1 = 1*(1+1)1 EUR = 2,00 EUR.
Bei halbjährlichem Zuschlag hat man p = 1/2, also K2 = 1*(1+0,5)2 EUR = 2,25 EUR, also schon etwas mehr.
Bei täglicher Verzinsung (p=1/365) erhalten wir
K365= 1*(1+1/365)365 = 2,714567... EUR.
Wenn man momentan verzinst, wird n unendlich groß, und man bekommt die oben angegebene 1. Formel für e.
Unerwarteterweise ist e auch häufig in der Wahrscheinlichkeitstheorie anzutreffen:
Angenommen, ein Bäcker gibt für jedes Brötchen eine Rosine in den Teig und knetet gut durch. Nachher enthält jedes e-te Brötchen keine Rosine, vorausgesetzt, es werden genügend viele Brötchen gebacken.
Aus der Wahrscheinlichkeit, alle n Rosinen in anderen Brötchen sind, ergibt sich für unendlich viele:
Siehe auch Mathematische KonstantenDie ersten 200 Nachkommastellen
Gerundet auf 200 Nachkommastellen (abgerundet) beträgt der Wert der Eulerschen Zahl:< 2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 352 662 497 757 247 093 699 959 574 966 967 627 724 076 630 353 547 594 571 382 178 525 166 427 427 466 391 932 003 059 921 817 413 596 629 043 572 900 334 295 260 595 630 738 132 328 627 943 490 763 233 829 880 753 195 251 019 01 <
Anschauliche Interpretationen