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Eulersche Zahl



Die nach Leonhard Euler benannte Eulersche Zahl e=2,718281828459... ist die Basis des so genannten natürlichen Logarithmus. Sie spielt in der Infinitesimalrechnung (Differential- und Integralrechnung) eine grosse Rolle. Die e-Funktion (Exponentialfunktion) f(x)=ex = e^x (gesprochen e hoch x) bleibt beim Differenzieren unverändert. Die Differenzialgleichung f'(x)=f(x) besitzt f(x)=c*ex als einzige Lösung wobei c eine unbestimmte Konstante ist.

Die Zahl e kann unter anderem durch Grenzwertbildung definiert werden. Die zwei bekanntesten Darstellungen dieser transzendenten Zahl lauten:

wobei man letztere Formel durch die Fakultätsschreibweisesschreibweise mit dem "!"-Zeichen im allgemeinen abkürzt zu

Sie stammt aus der Taylorentwicklung der e-Funktion um Null.

Da e eine transzendente Zahl ist, ist der entstehende Dezimalbruch unendlich und nicht periodisch.

Es gilt:

(ex)' = ex (Die Ableitung (von f(x)=ex) ist gleich f(x))
ei·π = -1 (Dabei ist i die imaginäre Einheit und π die Kreiszahl pi), dies ist die Eulersche Identität

Der Buchstabe e für diese Zahl wurde zuerst von Euler benutzt, es ist jedoch anzunehmen, dass dies eher aus praktischen Gründen geschah, als in Anlehnung an seinen Namen. Die Buchstaben a, b, c und d waren und sind in der Mathematik häufig benutzt, weshalb e eine gute Wahl für die Eulersche Zahl ist.

Table of contents
1 weitere Darstellungen für die Eulersche Zahl
2 Die ersten 200 Nachkommastellen
3 Anschauliche Interpretationen
4 Weblinks

weitere Darstellungen für die Eulersche Zahl

Eine eher unübliche aber bemerkenswerte Darstellung der Eulerschen Zahl ist zum Beispiel die Catalansche Darstellung

Um 1975 entdeckte der Schweizer Felix A. Keller folgende Formel, die gegen e konvergiert (Diese Formel wurde zum ersten Mal 1998 auf Steven Finch's Website
http://www.mathsoft.com veröffentlicht und "Keller's Expression" genannt):

Für jede komplexe Zahl z gilt:


Siehe auch den Artikel Exponentialfunktion.

Die Kettenbruchentwicklung von e weist folgendes Muster auf, welches sich bis ins unendliche fortsetzt:

Die ersten 200 Nachkommastellen

Gerundet auf 200 Nachkommastellen (abgerundet) beträgt der Wert der Eulerschen Zahl:

< 2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 352 662 497 757 247 093 699 959 574 966 967 627 724 076 630 353 547 594 571 382 178 525 166 427 427 466 391 932 003 059 921 817 413 596 629 043 572 900 334 295 260 595 630 738 132 328 627 943 490 763 233 829 880 753 195 251 019 01 < 

Anschauliche Interpretationen

Den Grenzwert der ersten Formel kann man folgendermaßen deuten: Jemand zahlt am 1. Januar einen Euro auf der Bank ein. Die Bank garantiert ihm eine momentane Verzinsung zu einem Zinssatz von 100%. Wie groß ist sein Guthaben am 1. Januar des nächsten Jahres?

Nach der Zinseszinsformel ist das Kapital nach n Verzinsungen Kn = K0 * (1+p)n, wobei K0 das Startkapital, p der Zinssatz, und n die Anzahl der Verzinsungen sind.

In unseren Beispiel sind K0 = 1 EUR, p = 100% = 1, wenn der Zinszuschlag jährlich erfolgt, oder p = 100% / n = 1/n, wenn der Zinszuschlag n mal im Jahr erfolgt.

Bei jährlichem Zuschlag wäre K1 = 1*(1+1)1 EUR = 2,00 EUR. Bei halbjährlichem Zuschlag hat man p = 1/2, also K2 = 1*(1+0,5)2 EUR = 2,25 EUR, also schon etwas mehr. Bei täglicher Verzinsung (p=1/365) erhalten wir K365= 1*(1+1/365)365 = 2,714567... EUR. Wenn man momentan verzinst, wird n unendlich groß, und man bekommt die oben angegebene 1. Formel für e.

Unerwarteterweise ist e auch häufig in der Wahrscheinlichkeitstheorie anzutreffen: Angenommen, ein Bäcker gibt für jedes Brötchen eine Rosine in den Teig und knetet gut durch. Nachher enthält jedes e-te Brötchen keine Rosine, vorausgesetzt, es werden genügend viele Brötchen gebacken. Aus der Wahrscheinlichkeit, alle n Rosinen in anderen Brötchen sind, ergibt sich für unendlich viele:

Siehe auch Mathematische Konstanten

Weblinks




     
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