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Kettenbruch



Kettenbrüche sind eine eindeutige Darstellungsform der reellen Zahlen. Er ist definiert als ein Bruch der Form:

Dabei ist eine ganze Zahl und

natürliche Zahlen ungleich Null.

Eine alternative Schreibweise für Kettenbrüche ist

Dabei unterscheiden wir endliche Kettenbrüche, periodisch unendliche und nichtperiodisch unendliche Kettenbrüche.

Table of contents
1 endlicher Kettenbruch
2 unendliche Kettenbrüche
3 Anwendung
4 Weblinks

endlicher Kettenbruch

Ein endlicher Kettenbruch hört nach dem n.ten Glied auf, hat also die Form:

Ein endlicher Kettenbruch beschreibt eine rationale Zahl, umgekehrt lässt sich auch jede rationale Zahl als endlicher Kettenbruch darstellen. Das läßt sich über den euklidschen Algorithmus realisieren:

Ein Bruch läßt sich wie folgt zerlegen:

a = q0*b + r2
b = q1*r2 + r3
r2 = q2*r3 + r4
.
.
rn = qn*rn+1 + rn+2
.
.
ro = qo*ro+1 + 0

Der Bruch wird dann nach folgendem Schema in einen Kettenbruch umgewandelt:

Beispiel :
13 = 2*5 + 3
5 = 1*3 + 2
3 = 1*2 + 1
2 = 2*1 + 0

In der alternativen Schreibweise ist

unendliche Kettenbrüche

Ein unendlicher Kettenbruch beschreibt eine irrationale Zahl und umgekehrt hat jede irrationale Zahl eine unendliche Kettenbruchentwicklung.

periodisch unendliche Kettenbrüche

Periodische unendliche Kettenbrüche beschreiben irrationale algebraische Zahlen, die Lösungen von ganzzahligen quadratischen Gleichungen sind. Umgekehrt lässt sich jede irrationale Lösung einer quadratischen Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten als periodischer unendlicher Kettenbruch darstellen.

Der unendliche Kettenbruch für den Goldenen Schnitt ist:

Der unendliche Kettenbruch für die Quadratwurzel aus 2 ist:

nichtperiodisch unendliche Kettenbrüche

Jeder nichtperiodische Kettenbruch stellt eine irrationale Zahl dar, die sich nicht als Lösung einer quadratischen Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten darstellen lässt. Umgekehrt lässt sich jede solche Zahl (insbesondere jede transzendente Zahl) als nichtperiodischer Kettenbruch schreiben.

Der unendliche Kettenbruch für die Eulersche Zahl e:

wobei sich das hier erkennbare Muster bis ins Unendliche fortsetzt.

Der Kettenbruch zu hat kein so trivial erkennbares Muster:

Ebenfalls nichtperiodisch ist z.B. der Kettenbruch für die dritte Wurzel von 2:

Anwendung

Kettenbrüche sind eine sehr genaue Form der Zahlendarstellung (so kann zB. ein Computer, der Kettenbrüche beherrscht und Periodizitäten erkennt jede Wurzel einer Zahl, die er exakt speichern kann wieder exakt speichern). Kettenbrüche sind manchmal recht angenehm um etwas zu zeigen, z.B. um algebraische Zahlen von transzendenten Zahlen zu unterscheiden. Sie eignen sie sich aber kaum zur Berechnung, da keine schnellen Algorithmen zur Berechnung der Summe, Differenz, Produkt oder Quotient zweier Zahlen in Kettenbruchdarstellung bekannt sind, und es für die Berechnung transzendeter und algebraischer Zahlen effektivere und schneller konvergierende Verfahren gibt.

Weblinks

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