Kettenbruch
Kettenbrüche sind eine eindeutige Darstellungsform der reellen Zahlen. Er ist definiert als ein Bruch der Form:
Dabei ist eine ganze Zahl und
natürliche Zahlen ungleich Null.
Eine alternative Schreibweise für Kettenbrüche ist
Dabei unterscheiden wir endliche Kettenbrüche, periodisch unendliche und nichtperiodisch unendliche Kettenbrüche.
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2 unendliche Kettenbrüche 3 Anwendung 4 Weblinks |
Ein endlicher Kettenbruch hört nach dem n.ten Glied auf,
hat also die Form:
Ein endlicher Kettenbruch beschreibt eine rationale Zahl, umgekehrt lässt sich auch jede rationale Zahl als endlicher Kettenbruch darstellen. Das läßt sich über den euklidschen Algorithmus realisieren:
Ein unendlicher Kettenbruch beschreibt eine irrationale Zahl und umgekehrt hat jede irrationale Zahl eine unendliche Kettenbruchentwicklung.
Periodische unendliche Kettenbrüche beschreiben irrationale algebraische Zahlen, die Lösungen von ganzzahligen quadratischen Gleichungen sind.
Umgekehrt lässt sich jede irrationale Lösung einer quadratischen Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten als periodischer unendlicher Kettenbruch darstellen.
Der unendliche Kettenbruch für den Goldenen Schnitt ist:
Jeder nichtperiodische Kettenbruch stellt eine irrationale Zahl dar, die sich nicht als Lösung einer quadratischen Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten darstellen lässt.
Umgekehrt lässt sich jede solche Zahl (insbesondere jede transzendente Zahl) als nichtperiodischer Kettenbruch schreiben.
Der unendliche Kettenbruch für die Eulersche Zahl e:
Der Kettenbruch zu hat kein so trivial erkennbares Muster:
Kettenbrüche sind eine sehr genaue Form der Zahlendarstellung (so kann zB. ein Computer, der Kettenbrüche beherrscht und Periodizitäten erkennt jede Wurzel einer Zahl, die er exakt speichern kann wieder exakt speichern).
Kettenbrüche sind manchmal recht angenehm um etwas zu zeigen, z.B. um algebraische Zahlen von transzendenten Zahlen zu unterscheiden.
Sie eignen sie sich aber kaum zur Berechnung, da keine schnellen Algorithmen zur Berechnung der Summe, Differenz, Produkt oder Quotient zweier Zahlen in Kettenbruchdarstellung bekannt sind, und es für die Berechnung transzendeter und algebraischer Zahlen effektivere und schneller konvergierende Verfahren gibt.
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Der Bruch wird dann nach folgendem Schema in einen Kettenbruch umgewandelt:
Beispiel :
unendliche Kettenbrüche
periodisch unendliche Kettenbrüche
Der unendliche Kettenbruch für die Quadratwurzel aus 2 ist:
nichtperiodisch unendliche Kettenbrüche
wobei sich das hier erkennbare Muster bis ins Unendliche fortsetzt.
Ebenfalls nichtperiodisch ist z.B. der Kettenbruch für die dritte Wurzel von 2:
Anwendung
Weblinks