Satz von Lindemann-Weierstrass
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2 Folgerungen 3 Für allgemeinere Informationen siehe auch 4 Weblinks |
Der Satz von Lindemann-Weierstrass ist ein zahlentheoretisches Ergebnis über die Nichtexistenz von Nullstellen bei gewissen Exponentialpolynomen. Er ist benannt nach den beiden Mathematikern Carl Louis Ferdinand von Lindemann und Karl Weierstrass. In exakter Form lautet er:
Überblick
Theorem Ist α1,...,αn eine Folge unterschiedlicher algebraischer Zahlen und β1,...,βn eine Folge beliebiger algebraischer Zahlen, wobei nicht alle βk = 0 sind, dann gilt:
Diesen sehr allgemeinen Satz bewies Carl Louis Ferdinand von Lindemann, um die deutlich schwächeren Resultate der Transzendenz von e und π zu zeigen.
Diese Ergebnisse folgen tatsächlich direkt aus dem obigen Theorem:
Wäre e eine algebraische Zahl, so existierten β0,...,βn, so dass
was ein offensichtlicher Widerspruch zum obigen Ergebnis wäre.
Um die Transzendenz von π zu zeigen gehen wir auch hier zunächst davon aus, dass π eine algebraische Zahl sei. Weil die Menge der algebraischen Zahlen einen Körper bilden, würde folgen dass auch πi und 2πi algebraische sind (für i siehe imaginäre Einheit).
und dies zeigt, dass unsere Annahme falsch war, also dass π transzendent sein muss.
Kurze Zeit nach dem Beweis des Satzes von Lindemann-Weierstrass legte David Hilbert einen deutlich vereinfachten Beweis für die Spezialfälle der Transzendenz der Zahlen e und π vor, aus dem sich wiederum auch der allgemeine Satz folgern läßt. Dieser Beweis findet sich unter den Weblinks.Folgerungen
Wenn wir nun β1 = β2 und α1 = πi, α2 = 2πi wählen, erhalten wir mit dem Satz von Lindemann-Weierstrass den Widerspruch