Gammafunktion
Table of contents |
2 Darstellungsformen 3 Der Satz von Bohr-Mollerup 4 Funktionalgleichungen 5 Geschichtliches 6 Literatur 7 Weblinks |
Die Gammafunktion ist eine meromorphe Funktion, die definiert wird als
Sie ermöglicht die Berechnung der Fakultätsfunktion für nicht-ganzzahlige Werte und dient als Grundlage für die Definition der Gamma-Wahrscheinlichkeitsverteilung.
Für ganzzahlige positive Werte gilt
Definition
für x > 0. Die Gammafunktion besitzt keine Nullstellen.
was sich aus der Funktionalgleichung
induktiv ergibt.
Eine weitere Ausweitung des Definitionsbereichs erlaubt die Darstellung der Gammafunktion nach Gauß:
Darstellungsformen
Direkt aus der Gaußschen Darstellungsform abgeleitet ist diejenige von Karl Weierstraß:
Der Satz von Bohr-Mollerup
Der Satz von Bohr-Mollerup (1922) erlaubt eine erstaunlich einfache Charakterisierung der Gammafunktion.
Theorem: Eine Funktion G : (0;∞) → ist in diesem Bereich die Gammafunktion, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind:
- G (1) = 1
- G (x+1) = x · G (x)
- G ist logarithmisch konvex
Der Ergänzungssatz der Gammafunktion
1730 stellte Leonhard Euler in einem Brief an Christian Goldbach folgendes Integral zur Interpolation der Fakultätsfunktion vor:
Funktionalgleichungen
erleichtert die Berechnung von Werten der Gammafunktion aus bereits bekannten Funktionswerten ebenso wie die Legendresche VerdopplungsformelGeschichtliches
(diese Funktionsdefinition geht durch die Substitution u = ln (1/t) in die obige Form über)
Dieses Integral entdeckte Euler bei der Untersuchung eines Problems aus der Mechanik, bei dem die Beschleunigung eines Partikels betrachtet wird.
Literatur
(nur noch in Bibliotheken erhältlich)
Weblinks