Automorphismus
In der Mathematik ist ein Automorphismus eine Funktion mit folgenden Eigenschaften:
- sie bildet eine Struktur in sich selbst ab,
- sie ist bijektiv,
- sie ist ein Homomorphismus,
- ihre Umkehrfunktion ist ein Homomorphismus.
Man beachte, dass bei Gruppen, Ringen, Körpern, Vektorräumen und einigen anderen Strukturen die vierte Bedingung aus den anderen dreien folgt, man im allgemeinen jedoch nicht auf sie verzichten kann, was im Artikel Homöomorphismus an einem Beispiel gezeigt wird.
In der Gruppentheorie ist ein Automorphismus einer Gruppe G ein bijektiver Homomorphismus von G nach G. Automorphismen sind zum Beispiel:
Beispiele
In der Graphentheorie ist ein Automorphismus eines Graphen eine Permutation der Knoten, die den Graphen auf sich selbst abbildet (die permutierten Knoten sind durch dieselben Kanten verbunden wie die ursprünglichen).
zum Beispiel geht dieser Graph
1 --- 2 3 --- 4
2 --- 1 3 --- 4
1 --- 3 2 --- 4
Die Menge aller Automorphismen einer Struktur X zusammen mit der Komposition von Funktionen bildet eine Gruppe, die so genannte Automorphismengruppe von X, geschrieben als Aut(X).
Einzusehen ist das ganz leicht:
Automorphismengruppe
Wenn es möglich ist, Elemente einer Struktur zu nehmen und mit ihnen Automorphismen zu bilden, dann unterscheidet man zwischen
Für eine Gruppe G ist ein innerer Automorphismus ein Automorphismus fg: G -> G der Form fg(h) =g-1hg (das ist die Konjugation mit g). Die inneren Automorphismen bilden einen Normalteiler von Aut(G), der mit Inn(G) bezeichnet wird.
Siehe auch: Morphismus