Eigenvektor
Die Begriffe Eigenwert und Eigenvektor treten immer gemeinsam in der Linearen Algebra auf. Die im folgenden beschriebene mathematische Problemstellung nennt sich spezielles Eigenwertproblem.Eigenvektoren eines linearen Operators (etwa durch eine Matrix dargestellt) sind Vektoren, auf welche die Anwendung des Operators (etwa die Multiplikation mit der Matrix) ein skalares Vielfaches ihrer selbst ergeben. Der Nullvektor kann definitionsgemäß nicht ein Eigenvektor sein. Den entsprechenden Skalar nennt man Eigenwert.
Ist A eine (n, n)-Matrix, so heißt ein Eigenvektor zum Eigenwert λ, wenn gilt:
Die Eigenwerte lassen sich durch Lösung folgender Gleichung bestimmen, wobei |M| die Determinante einer (n,n)-Matrix M und E die Einheitsmatrix bezeichnet:
Die Auflösung der Determinante liefert ein Polynom n-ten Grades in λ, das charakteristische Polynom (Siehe dort zur Herleitung). Dessen Auflösung liefert die n Eigenwerte λ1, ..., λn.
Gleiche Eigenwerte fasst man zusammen, so dass sich k (≤ n) Eigenwerte λ1, ..., λk mit ihren Vielfachheiten vi ergeben.(Bsp: λ1 = 1, λ2 = 2 dann besteht eine Vielfachheit für λ1 und λ2 von 2 (stimmt dieses Beispiel??))
Kennt man die Eigenwerte und ihre Vielfachheiten, kann man die Jordansche Normalform der Matrix erstellen.
Eigenwerte können auch komplex sein.
Für einen Eigenwert λ lassen sich die Eigenvektoren aus der Gleichung
bestimmen. Die Eigenvektoren spannen einen Raum auf, dessen Dimension der Vielfachheit des Eigenwertes entspricht. Für einen Eigenwert λ der Vielfachheit v lassen sich also Eigenvektoren e1, ..., ev finden, so dass die Menge aller Eigenvektoren zu λ gleich der Menge der Linearkombinationen von e1, ..., ev ist. e1, ..., ev heißt dann Basis von Eigenvektoren zum Eigenwert λ.
Durch Lösung eines Eigenwertproblems berechnet man
Berechnung der Eigenwerte
Berechnung der Eigenvektoren
Praktische Beispiele
Insbesondere an deutschen Hochschulen kursiert die Anekdote, das englische wurde auf Grund der Annahme aus dem Deutschen übernommen, dass der Eigenvektor nach Manfred Eigen benannt wurde. Dies ist aber offensichtlich falsch, da Eigen beim ersten Auftauchen des Begriffes im Englischen noch nicht sehr bekannt war und sich auch in keiner Weise um den Eigenvektor verdient gemacht hat.