Balkentheorie
Die Balkentheorie ist ein Teilgebiet der Festigkeitslehre bzw. der Elastizitätstheorie bzw. der Statik. Diese sind Teilgebiete der Technischen Mechanik.Zur Anwendung kommt die Balkentheorie in vielen Ingenieurwissenschaften, beispielsweise
- Bauingenieurwesen
- Maschinenbau
- Schiffbau
- Luft- und Raumfahrttechnik bzw. Flugzeugbau.
Die Balkentheorie befasst sich mit der Berechnung von Bauteilen mit folgenden Merkmalen, die als Balken bezeichnet werden:
Allgemein unterscheidet man
Im einfachsten Fall wird ein Balken anhand der folgenden linearen inhomogenen
Differenzialgleichung berechnet. Sie stellt einen Zusammenhang zwischen der Durchbiegung w (in y-Richtung) und der Streckenlast (Gewicht pro Strecke) q als Funktion der Koordinate x entlang der Balkenachse her.
Für die dynamischen Randbedingungen ist relevant, welcher Zusammenhang zwischen der Durchbiegung und den Schnittlasten besteht, nämlich
Biegemoment:
Im Falle unsymmetrischer Querschnitte muss das Koordinatensystem in Richtung der Haupttägheitsachsen gedreht werden, damit man die Biegung in beiden Richtungen getrennt voneinander berechnen kann. Beispiel: wenn ein L-Profil von oben belastet wird, kann es sich auch nach vorn oder hinten durchbiegen. Nur in Richtung einer Hauptträgheitsachse biegt sich ein Balken in Richtung der Belastung und nicht quer dazu.
Wie stark sich ein Balken verbiegt, hängt ferner sehr stark von der Position der Auflager ab; bei gleichmäßiger Belastung q(x)=const erhält man aus der Differentialgleichung als optimale Lagerpositionen die Bessel-Punkte.
Bis hier wurde nur die Statik behandelt. Die Balkendynamik, etwa um Balkenschwingungen zu berechnen, basiert auf der Gleichung
Während bisher die Kräfte und Momente näherungsweise am unverformten Bauteil bilanziert wurden, ist es im Falle von Knickstäben erforderlich, ein Balkenelement im verformten Zustand zu betrachten. Knickstab-Berechnungen basieren auf der Gleichung
Ein Anwendungsfall, bei dem Balkentheorie Dritter Ordnung nötig wird, ist z.B. das Verlegen von Offshore-Pipelines von einem Wasserfahrzeug aus in großen Wassertiefen, hier nur als ebener statischer Fall wiedergegeben. Ein sehr langer Rohrstrang hängt vom Fahrzeug zum Meresboden herunter, ist gekrümmt wie ein Seil, jedoch biegesteif. Die nichtlineare Differentialgleichung lautet hier
Nach qualitativen Vorarbeiten von Leonardo da Vinci wurde die Balkentheorie von Galileo Galilei begründet. Er ordnete die Neutralfläche allerdings fehlerhaft an der Unterseite des Balkens an.
Knickstäbe wurden erstmals von Euler betrachtet.
Voraussetzungen
Die Balkentheorie bezieht sich auch auf Bauteile, die aus einzelnen Balken zusammengesetzt sind.Grundzüge der Theorie
Näherungsschritte
Theorie erster Ordnung: Statik
Die Biegesteifigkeit EI ergibt sich zusammen aus dem Elastizitätsmodul E des Materials und dem Trägheitsmoment I des geometrisch gegebenen Querschnitts. Letzteres berechnet sich als
Für einen Balken mit rechteckigem Querschnitt h·b (in y- respektive z-Richtung) ist
Rand- und Übergangsbedingungen ergeben sich aus der Art der Auflager und bestehen aus kinematischen Randbedingungen und aus dynamischen (Kräfte und Momente betreffenden) Randbedingungen.
Querkraft:
Das Biegemoment setzt sich aus Biegespannungen zusammen, dies sind in axialer Richtung wirkende Spannungen mit einer linearen Verteilung zwischen Druckfaser und Zugfaser:
Darin ist I das Flächenträgheitsmoment des Querschnitts um die Achse, um die das Biegemoment dreht. Den Kennwert z/I beim maximalen z (an der äußersten Faser des Querschnitts) nennt man auch Widerstandsmoment. Daraus folgt ein recht bekanntes Ergebnis: die Tragfähigkeit eines Balkens ist proportional zu I/h=bh2.Theorie erster Ordnung: Dynamik
Das Problem hängt hier nicht nur vom Ort x, sondern zusätzlich von der Zeit t
ab. Es kommen zwei weitere Parameter des Balkens hinzu, nämlich die Massenverteilung m (in kg/m) und die Strukturdämpfung b. Wenn das Bauteil unter Wasser schwingt, beinhaltet m auch die hydrodynamische Masse, und in b kann man eine linearisierte Form der hydrodynamischen Dämpfung einbeziehen, siehe Morison-Gleichung.Theorie zweiter (?) Ordnung: Knickstab
und zwar im einfachsten Fall mit q=0. Hinzu kommt die axial im Knickstab wirkende Druckkraft N, die je nach Randbedingungen die Knicklast nicht überschreiten darf, damit der Stab nicht ausknickt.Theorie dritter Ordnung: Schalen
Die Koordinate heißt hier nicht mehr x, sondern s. Das ist die Bogenlänge entlang der Pipeline. H ist die entlang der Pipeline konstante Horizontalkomponente der Schnittkraft (Horizontalzug) und wird dadurch beeinflusst, wie stark das Fahrzeug mit seinen Ankern und dem Tensioner an der Pipeline zieht, damit sie nicht durchsakt und bricht. Der Tensioner ist eine Vorrichtung aus zwei Raupenketten, die die Pipeline an Bord einspannt wie die Wurst im Hot Dog und sie unter Zugbelastung hält. w ist das Gewicht pro Länge abzüglich Auftrieb. V ist eine Rechengröße, die man sich als kleine Bodenauflagerkraft vorstellen kann. Die Geometrie wird durch den Neigungswinkel beschrieben, der mit der Horizontalkoordinate x(s) und der Vertikalkoordinate z(s) in folgendem Zusammenhang steht:
Geschichte
Weiterführende Informationen
Literatur
Weblinks