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Trägheitsmoment



Das Trägheitsmoment ist eine physikalische Größe, die die Trägheit eines Körpers bei Rotationsbewegungen beschreibt. Sie ist damit das Gegenstück zur (trägen) Masse der Translationsbewegungen.

Table of contents
1 Bedeutung des Trägheitsmomentes
2 Berechnung
3 Trägheitsmomente bei Himmelskörpern
4 Trägheitsmomente einfacher geometrischer Körper
5 Die Steiner-Regel
6 Siehe auch

Bedeutung des Trägheitsmomentes

Die Bedeutung des Trägheitsmoments soll hier durch Vergleich zwischen einer geradlinigen Translationsbewegung (also der Bewegung entlang einer Geraden) und einer Drehbewegung erfolgen:

Berechnung

Das Trägheitsmoment I ist immer in Bezug auf die jeweilige Drehachse zu sehen und berechnet sich, wenn man einzelne Massenpunkte des drehenden Körpers betrachtet, wie folgt:

m ist dabei die Masse des jeweiligen Teilchens, r der Abstand des Teilchens von der Drehachse. Es werden also alle Massen im Produkt mit dem Quadrat des Abstandes von der Achse aufsummiert.

Für das Trägheitsmoment um die x-Achse heißt das Konkret:

Da in der Realität keine einzelnen Massenpunkte ohne Ausdehnung vorkommen, und man daher einen Körper in der Regel mit kontinuierlicher Massenverteilung betrachten wird, benutzt man in diesem Fall die Integralschreibweise:

dm ist dabei das so genannte Massenelement.
Das Integral von dm über den ganzen Körper entspricht dessen Masse m.

Durch das Trägheitsmoment lässt sich bei gegebener Winkelgeschwindigkeit bzw. -beschleunigung der Drehung der Drehimpuls und das Moment ermitteln:

Trägheitsmomente bei Himmelskörpern

Fast alle größeren Körper im Weltall (Sterne, Planeten) sind kugelförmig und rotieren mehr oder weniger schnell. Das Trägheitsmoment um die Rotationsachse ist immer das größte des Himmelskörpers.

Die Differenz dieses "polaren" und des äquatorialen Trägheitmoments hängt mit der Abplattung des Körpers zusammen, also seiner Verformung der reinen Kugelgestalt durch die Fliehkraft der Rotation. Bei der Erde liegt diese Differenz bei 0,3 Prozent, entspricht also fast der Erdabplattung von 1:298,24. Beim rasch rotierenden Jupiter sind diese Relativwerte rund 20mal größer.

Das Trägheitsmoment eines Himmelskörpers lässt wegen r² im obigen Integral auf die innere Konzentration seiner Masse schließen. Jenes der Erde ist viel kleiner, als wenn sie homogen aufgebaut wäre. Daraus kann man errechnen, dass der Erdkern aus Eisen (oder metallisch verdichtetem Wasserstoff) besteht.

Trägheitsmomente einfacher geometrischer Körper

Abbildung Beschreibung Trägheitsmoment
Punktmasse im Abstand um eine Drehachse
Zylindermantel um seine Körperachse rotiert
Vollzylinder um seine Körperachse rotiert
Hohlzylinder um seine Körperachse rotiert, "+" sieht zunächst verblüffend aus, doch die Masse liegt zwischen dem äußeren und inneren Radius. Außerdem ist die Masse auch kleiner als beim Vollzylinder
Vollzylinder um den Schwerpunkt senkrecht zu seiner Körperachse rotiert
Zylindermantel um den Schwerpunkt senkrecht zu seiner Körperachse rotiert
Dünner Stab um den Schwerpunkt senkrecht zu seiner Körperachse rotiert
Dünner Stab um sein Ende senkrecht zu seiner Körperachse rotiert
Kugelschale um ihren Schwerpunkt rotiert
Massive Kugel um ihren Schwerpunkt rotiert
Quader um seinen Schwerpunkt rotiert

Die Steiner-Regel

Die obenstenden Trägheitsmomente (mit Ausnahme von a), dem Masseteilchen, und h), dem Stab, der um sein Ende rotiert) sind nur dann gültig, wenn die Drehachse der geometrischen Achse des Körpers entspricht, d.h. durch den Schwerpunkt geht. Andernfalls kann die Steiner-Regel (auch: Steiner'scher Satz) angewendet werden.

Siehe auch

Flächenträgheitsmoment, Trägheitstensor




     
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