Homomorphismus
Ein Homomorphismus ist eine Abbildung zwischen zwei Strukturen, durch die Teile der einen Struktur auf "bedeutungsgleiche" Teile der anderen Struktur eindeutig abgebildet werden.
Table of contents |
2 Homomorphismen in einigen algebraischen Strukturen 3 Weitere Begriffe |
Man kann den Homomorphismusbegriff sehr allgemein definieren, in der Kategorientheorie als Morphismus und in der universellen Algebra als Homomorphismus. Die beiden Begriffe unterscheiden sich in einigen Eigenschaften, sind also nicht austauschbar.
Für die bekanntesten algebraischen Strukturen wie Vektorraum, Gruppen, Ringe, Körper sind aber die folgenden Darstellungen einfacher.
Seien A und B zwei Strukturen, z.B. Gruppen, Vektorräume, Ringe, Körper, usw.
Im folgenden bezeichne (A, f, g, h, ..., a, b, c, ...) eine Struktur, so dass A die Trägermenge ist, f, g, h Verknüpfungenen (z.B. "*" oder "+") und a, b, c die jeweils neutralen Elemente dieser Verknüpfungen.
Zum Beispiel ist (Z, +, 0) (die Menge der ganzen Zahlen mit der Verknüpfung + und dem neutralen Element 0) eine Gruppe, (R, *, +, 1, 0) (die Menge der reellen Zahlen mit * und + wie in der Schulmathematik) ein Körper. Dann gilt folgendes:
Eine Abbildung f: A -> B heißt Gruppenhomomorphismus zwischen (A, *, 1) und (B, x, 1), wenn für alle a, b ∈ A gilt:
Damit folgt trivialerweise auch direkt:
Siehe auch den Artikel Gruppenhomomorphismus.
Eine Abbildung f: A -> B heißt Ringhomomorphismus zwischen (A, *, +, 1, 0) und (B, *, +, 1, 0), wenn für alle a, b ∈ A gilt:
Analog zu oben gelten dann auch die direkten Folgerungen f(1) = 1 und .
Kern(f) := {a ∈ A : f(a) = 0}
Der Ringhomomorphismus f ist injektiv, genau dann wenn der Kern trivial ist (d.h. nur das neutrale Element aus A enthält).
Beweis:
Sei f injektiv und f(h) = 0. Da f Hom ist, ist f(0) = 0 = f(h), und damit h = 0, da f injektiv. Also ist Kern(f) = {0}.
Umgekehrt sei Kern(f) = {0}. Betrachte h und h' mit f(h) = f(h'). Dann ist 0 = f(h) - f(h') = f(h - h'), also h - h' ∈ Kern(f) = {0}. Also ist h - h' = 0, also h = h' und damit f injektiv.
Da ein Körper K nur K und {0} als einzige Ideale hat, ist damit ein Körperhomomorphismus insbesondere immer injektiv!
Ein Homomorphismus f heißt:
Ein Homomorphismus f heißt:
Allgemeine mathematische Definition
Homomorphismen in einigen algebraischen Strukturen
Gruppenhomomorphismus
f(a * b) = f(a) x f(b)
Kern(f) := {a ∈ A : f(a) = 1}
(Der Kern eines Gruppenhomomorphismus ist ein Normalteiler von A).Ringhomomorphismus
f ist Gruppenhomomorphismus bzgl. "+", und
f(a * b) = f(a) * f(b)
(Der Kern eines Ringhom. ist ein Ideal von A.)Weitere Begriffe
universelle Algebra
Kategorientheorie