Komposition (Mathematik)
Der Begriff der Komposition bezieht sich in der Mathematik meist auf die Hintereinanderschaltung von Funktionen. Zu dem Begriff Komposition existiert als Synonym der Begriff Verkettung.Die Komposition ist punktweise definiert: Seinen A, B, C beliebige Mengen und f: A → B und g: B → C Funktionen mit den angegebenen Definitions- und Wertebereichen. Dann ist die Komposition g ◊ f eine Funktion von A nach C, definiert durch die Vorschrift:
Der Begriff der Komposition kann von Funktionen auf Relationen verallgemeinert werden.
Die Komposition von Funktionen ist immer assoziativ, d.h. für Funktionen f, g und h gilt:
Algebraische Eigenschaften
da
Die Komposition von Funktionen ist im allgemeinen nicht kommutativ; beispielsweise gilt für die Funktionen q(x):=x·x und a(x):=x+1:
- (q ◊ a)(2) = q(a(2)) = q(3) = 9
- (a ◊ q)(2) = a(q(2)) = a(4) = 5
Algebraische Strukturen
Wird die Menge F(A) aller Funktionen aus einer gegebenen Menge A auf sich selbst betrachtet, so definiert die Komposition eine innere Verknüpfung auf F(A), bezüglich derer F(A) (mit der identischen Abbildung als neutrales Element) ein so genanntes Monoid darstellt.
Werden nur bijektive Funktionen herangezogen, ist das Monoid sogar eine Gruppe mit der jeweiligen Umkehrfunktion als inverses Element. Falls die Menge A endlich ist, handelt es sich um eine symmetrische Gruppe.