Eulersche Identität
Die Eulersche Identität bezeichnet die Formel
Der fast 15-jährige Richard Feynman nannte diese Beziehung in seinem Notizbuch die "bemerkenswerteste Formel der Welt". Sie setzt die wichtigsten fundamentalen, mathematischen Konstanten in eine Beziehung:
- Die Zahlen 0 und 1 sind die Grundlage des Zählens und der Arithmetik.
- Die Zahl π ist eine geometrische Konstante unserer Euklidischen Welt.
- Die Eulersche Zahl e ist eine zentrale Konstante bei der Beschreibung von Wachstumsvorgängen. Die einfachste Lösung der einfachsten Wachstumsgleichung dy / dx = y (einer Differentialgleichung) ist die Exponentialfunktion y = ex.
- Und durch die Einführung der imaginären Einheit i haben alle nicht-konstanten Polynome eine komplexe Nullstelle.
Die Funktion kann auch so geschrieben werden:
Die Potenz ii der imaginären Einheit kann man mit der Eulerschen Identität so berechnen:
Setzt man π/2 in die Identität ein, erhält man
Herleitung
Hier ist eine Herleitung der Eulerschen Identität mit Hilfe der Taylorreihen:
nun fügen wir dem Exponenten i hinzu:
wir können diesen Term jetzt so anordnen, dass folgende Version dabei herauskommt:
um diesen Ausdruck zu vereinfachen verwenden wir folgende Fakten über i:
oder allgemein ausgedrückt, als Vielfaches von n:
Als vereinfachte Formel erhalten wir:
nun werden die Terme noch einmal geordnet und in zwei Summen aufgeteilt:
Beim nächsten Schritt verwenden wir folgende Taylorreihen für cos(x) und sin(x):
wenn wir diese jetzt in die vorhergehende Formel für eix einsetzen, erhalten wir
i hoch i
Erhebt man beide Seiten in die i-te Potenz, erhält man
und man erhält schließlich den reellen Wert