Monomorphismus
Der Begriff Monomorphismus wird in der Mathematik in den Teilgebieten abstrakte Algebra und Kategorientheorie unterschiedlich definiert. In beiden Fällen ist es jedoch ein Morphismus mit einer bestimmten Zusatzeigenschaft.
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2 Monomorphismus in der Kategorientheorie |
In der abstrakten Algebra ist ein Monomorphismus definiert als ein injektiver Homomorphismus.
Ein Monomorphismus erlaubt es, algebraische Strukturen in andere einzubetten, und sie so als Teilmengen zu interpretieren.
Die Abbildung f: R -> C, f(x) = x+0·i ist ein Körper-Monomorphismus, mit dem die reellen Zahlen in die komplexen eingebettet werden.
Die Abbildung g: (C,+) -> (R,+), g(z) = Re(z) ist zwar ein Gruppen-Homomorphismus, aber nicht injektiv.
Die Abbildung h: R² -> R³, h(x,y) = (x, y, x+y) ist ein Vektorraum-Monomorphismus.
Bezeichne V die Menge aller rationalen Cauchy-Folgen modulo der Äquivalenzrelation
Die Abbildung k: Q -> V, k(q) = [(q,q,...)], die q auf die Äquivalenzklasse einer konstanten Folge abbildet, ist ein Körper-Monomorphismus, der es erlaubt, die rationalen Zahlen in die reellen Zahlen einzubetten.
Siehe auch: Epimorphismus, Isomorphismus
In der Kategorientheorie ist ein Monomorphismus ein Morphismus f: X -> Y mit folgender Eigenschaft:
In den Kategorien Set, Grp, Top, Top2, BanSp1, BanSp2 sind die Monomorphismen genau die injektiven Morphismen.
In den Kategorien Set und Grp sind die extremalen Monomorphismen gerade die Monomorphismen.
In der Kategorie Top sind die extremalen Monomorphismen die Einbettungen (bis auf Homöomorphismus). In der Kategorie Top2 sind die extremalen Monomorphismen die abgeschlossenen Einbettungen (bis auf Homöomorphismen).
In der Kategorie BanSp1 sind die extremalen Monomorphismen genau diejenigen linearen stetigen surjektiven Abbildungen f, für die es ein positives m gibt so dass für alle x aus dem Definitionsbereich gilt:
Monomorphismus in der abstrakten Algebra
Beispiele
Diese Menge "ist" die Menge der reellen Zahlen gemäß einer Möglichkeit, sie aus den rationalen Zahlen zu konstruieren. (Details siehe Vollständiger Raum.)Monomorphismus in der Kategorientheorie
Ein Monomorphismus f heißt extremal, wenn er zusätzlich folgende Extremaleigenschaft erfüllt:
Beispiele